Matematica
Come si calcola il volume del cilindro?
Risposta veloce
Si moltiplica l'area di base (un cerchio) per l'altezza: V = π × r² × h. Un cilindro con raggio 5 cm e altezza 12 cm ha un volume di circa 942 cm³, quasi un litro.
In una frase
Il volume del cilindro è l'area del cerchio di base moltiplicata per l'altezza: V = π × r² × h.
Spiegazione
Il cilindro è un solido di rotazione con due basi che sono cerchi uguali e paralleli, unite da una superficie curva, come un barattolo, una candela o un tubo. Il suo volume è lo spazio che occupa, o quanto può contenere. Per l'idea generale, vedi volume.
mug
secchio
pentola
Immagina il cilindro come una pila di monete uguali. Ogni moneta è un cerchio sottilissimo, con area π × r² (vedi l'area del cerchio). Impilandole fino all'altezza h, lo spazio che occupano è area di base per altezza:
V = Ab × h = π × r² × h
È la stessa regola dei prismi: volume = area di base × altezza. Nel parallelepipedo la base è un rettangolo, nel cilindro un cerchio.
Qui r è il raggio di base (metà del diametro) e h è l'altezza del cilindro. Poiché si moltiplicano tre lunghezze, il risultato si misura in unità cubiche: cm³, m³, mm³.
Per liquidi, serbatoi e piscine il risultato si chiede spesso in litri:
- 1 dm³ = 1 litro, cioè 1000 cm³ = 1 litro (e 1 cm³ = 1 ml)
- 1 m³ = 1000 litri
Nota bene: il raggio è al quadrato, l'altezza no. Per questo il raggio conta molto di più. Raddoppiare l'altezza raddoppia il volume, ma raddoppiare il raggio lo rende 4 volte più grande. Una pentola larga e bassa può contenere molto più di un bicchiere alto e stretto.
Non confondere il volume con l'area della superficie. Il volume è lo spazio interno (cm³). La superficie totale è il materiale esterno (cm²): due cerchi più la superficie laterale, 2πr² + 2πrh.
Esempi
| Raggio r | Altezza h | r² | Area di base π × r² (π ≈ 3,14) | Volume |
|---|---|---|---|---|
| 1 cm | 10 cm | 1 | 3,14 cm² | 31,4 cm³ |
| 3 cm | 5 cm | 9 | 28,26 cm² | 141,3 cm³ |
| 5 cm | 12 cm | 25 | 78,5 cm² | 942 cm³ |
| 10 cm | 20 cm | 100 | 314 cm² | 6280 cm³ = 6,28 litri |
| 2 m | 3 m | 4 | 12,56 m² | 37,68 m³ |
Esempio svolto: un barattolo ha diametro 8 cm e altezza 10 cm. Il raggio è 8 : 2 = 4 cm. Area di base = 3,14 × 4² = 3,14 × 16 = 50,24 cm². Volume = 50,24 × 10 = 502,4 cm³, circa mezzo litro.
Errori comuni
- Usare il diametro al posto del raggio. Dividi prima il diametro per 2. Con d = 10 cm si usa r = 5 cm, non 10 cm (altrimenti il risultato è 4 volte troppo grande).
- Elevare al quadrato la cosa sbagliata. Solo il raggio va al quadrato: π × r × r × h. Non (π × r)², né 2 × r.
- Confondere le formule. π × r² × h è il volume; 2 × π × r × h è la superficie laterale; ⅓ × π × r² × h è il cono.
- Sbagliare unità. Il volume si scrive in cm³ o m³. E 1 m³ sono 1000 litri, non 100.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Trova il raggioSe è dato il diametro, dividilo per 2. Controlla che r e h siano nella stessa unità.
- Eleva il raggio al quadratoCalcola r × r.
- Moltiplica per πOttieni l'area di base, π × r².
- Moltiplica per l'altezzaV = π × r² × h.
- Scrivi l'unità cubicaCm³ o m³. Converti in litri se richiesto: : 1000 dai cm³, × 1000 dai m³.
Le formule inverse: l'altezza è h = V : (π × r²) e il raggio è r = √(V : (π × h)). Se si chiede il risultato «in funzione di π», π resta come lettera: con r = 4 cm e h = 7 cm, V = π × 16 × 7 = 112π cm³.
Esercizi
Calcola il volume (usa π ≈ 3,14 se non è indicato altro)
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- r = 1 cm, h = 5 cm.
Mostra la soluzione
3,14 × 1 × 5 = 15,7 cm³ - r = 3 cm, h = 10 cm.
Mostra la soluzione
3,14 × 9 × 10 = 282,6 cm³ - r = 5 m, h = 2 m.
Mostra la soluzione
3,14 × 25 × 2 = 157 m³ - Diametro 8 cm, altezza 5 cm.
Mostra la soluzione
r = 4 cm; 3,14 × 16 × 5 = 251,2 cm³ - Diametro 20 cm, altezza 15 cm.
Mostra la soluzione
r = 10 cm; 3,14 × 100 × 15 = 4710 cm³ - r = 4 cm, h = 7 cm. Scrivi il volume in funzione di π.
Mostra la soluzione
π × 16 × 7 = 112π cm³ - r = 7 cm, h = 10 cm, con π ≈ 22/7.
Mostra la soluzione
22/7 × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³ - r = 0,5 m, h = 2 m.
Mostra la soluzione
3,14 × 0,25 × 2 = 1,57 m³ - Trasforma in litri i 4710 cm³ dell'esercizio 5.
Mostra la soluzione
4710 : 1000 = 4,71 litri - Un cilindro ha volume 314 cm³ e raggio 5 cm. Calcola l'altezza.
Mostra la soluzione
Area di base = 3,14 × 25 = 78,5 cm²; h = 314 : 78,5 = 4 cm - Un cilindro ha volume 1130,4 cm³ e altezza 10 cm. Calcola il raggio.
Mostra la soluzione
r² = 1130,4 : (3,14 × 10) = 36, quindi r = 6 cm - Un cilindro ha volume 500π cm³ e raggio 5 cm. Calcola l'altezza.
Mostra la soluzione
500π = π × 25 × h, quindi h = 20 cm - Il cilindro A ha r = 2 cm e h = 10 cm; il B ha r = 4 cm e h = 5 cm. Quale ha il volume maggiore?
Mostra la soluzione
A: π × 4 × 10 = 40π; B: π × 16 × 5 = 80π. B, il doppio - Un tubo lungo 100 cm ha raggio esterno 5 cm e raggio interno 4 cm. Qual è il volume del materiale?
Mostra la soluzione
π × (25 − 16) × 100 = 900π ≈ 2826 cm³ - Un cilindro equilatero (altezza uguale al diametro) ha raggio 3 cm. Calcola il volume.
Mostra la soluzione
h = 6 cm; 3,14 × 9 × 6 = 169,56 cm³
Problemi
Il cilindro nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Un serbatoio d'acqua ha raggio 0,5 m e altezza 1,2 m. Quanti litri contiene?
Mostra la soluzione
3,14 × 0,25 × 1,2 = 0,942 m³ = 942 litri - Un bicchiere ha raggio 3 cm e altezza 12 cm. Quanti bicchieri pieni si riempiono con una bottiglia da 1,5 litri?
Mostra la soluzione
Un bicchiere = 3,14 × 9 × 12 = 339,12 cm³; 1500 : 339,12 ≈ 4,4, quindi 4 bicchieri pieni - Una piscina gonfiabile rotonda ha diametro 4 m e l'acqua arriva a 1 m. Quanti litri d'acqua contiene?
Mostra la soluzione
r = 2 m; 3,14 × 4 × 1 = 12,56 m³ = 12.560 litri - Una tortiera rotonda ha diametro 20 cm e l'impasto è alto 4 cm. Qual è il volume dell'impasto?
Mostra la soluzione
r = 10 cm; 3,14 × 100 × 4 = 1256 cm³ - Un tubo da giardino è lungo 5 m e ha raggio interno 1 cm. Quanta acqua contiene quando è pieno?
Mostra la soluzione
5 m = 500 cm; 3,14 × 1 × 500 = 1570 cm³ ≈ 1,57 litri - Un serbatoio cilindrico contiene 6280 litri e ha raggio 1 m. Quanto è alto?
Mostra la soluzione
6280 litri = 6,28 m³; h = 6,28 : (3,14 × 1) = 2 m
Domande frequenti
Qual è la formula del volume del cilindro?
V = π × r² × h, cioè area di base per altezza. L'area di base è l'area del cerchio, Ab = π × r².
Come si calcola il volume del cilindro con il diametro?
Si divide il diametro per 2 per avere il raggio e si usa V = π × r² × h. Equivale a V = π × d² × h : 4.
Come si calcola il volume del cilindro in litri?
Calcola il volume in dm³: il numero ottenuto è già quello dei litri, perché 1 dm³ = 1 litro. Se hai i cm³, dividi per 1000; se hai i m³, moltiplica per 1000.
Come trovo il raggio dal volume del cilindro?
Con la formula inversa: r = √(V : (π × h)). Se V = 1130,4 cm³ e h = 10 cm: V : (3,14 × 10) = 36 e √36 = 6 cm.
Che cos'è il cilindro equilatero?
È un cilindro in cui l'altezza è uguale al diametro di base: h = 2r. Il volume diventa V = π × r² × 2r = 2πr³. Con r = 3 cm: 2 × 3,14 × 27 = 169,56 cm³.
Come si misura il volume di un cilindro reale?
Misura il diametro di base passando per il centro e dividilo per 2, poi misura l'altezza e applica la formula. Per sapere quanto contiene un recipiente, misura all'interno.
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Quale formula dà il volume di un cilindro di raggio r e altezza h?
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Capacità
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