Matematica
Che cos'è lo sviluppo di un solido e com'è lo sviluppo del cubo?
Risposta veloce
Lo sviluppo di un solido è la figura piana che, piegata, forma il solido. Lo sviluppo del cubo è fatto di 6 quadrati uniti per i lati, e il cubo ha 11 sviluppi diversi.
In una frase
Lo sviluppo di un solido è ciò che ottieni quando lo apri e lo stendi sul tavolo: una figura piana che, ripiegata, torna a formare il solido.
Spiegazione
Prendi una scatola di cereali vuota, stacca con cura le linguette incollate e appiattiscila sul tavolo. Il cartoncino che hai in mano è lo sviluppo della scatola. Tutte le facce sono ancora lì, unite alle vicine lungo le linee di piegatura. Ripiegalo e la scatola torna com'era.
scatola
forbici
colla
Le facce di un poliedro sono figure piane, quindi anche il suo sviluppo è fatto di figure piane. Per sapere com'è, conta le facce del solido e dai un nome alla loro forma (vedi facce, spigoli e vertici):
| Solido | Figure dello sviluppo |
|---|---|
| Cubo | 6 quadrati |
| Parallelepipedo rettangolo | 6 rettangoli, uguali a due a due |
| Prisma a base triangolare | 2 triangoli e 3 rettangoli |
| Piramide a base quadrata | 1 quadrato e 4 triangoli |
| Tetraedro (piramide a base triangolare) | 4 triangoli |
| Cilindro | 2 cerchi e 1 rettangolo |
| Cono | 1 cerchio e 1 settore circolare (una "fetta di pizza" di un cerchio più grande) |
Un solido può avere più sviluppi, perché si può aprire tagliando lungo spigoli diversi. Il cubo ha 11 sviluppi diversi. Due sviluppi contano come uno solo se uno è l'altro ruotato o capovolto. Un parallelepipedo con lunghezza, larghezza e altezza tutte diverse ne ha 54.
Non tutti i gruppi di 6 quadrati formano un cubo. Piegando, due quadrati possono finire sulla stessa faccia e lasciare un buco da un'altra parte. Tre controlli veloci:
- Mai più di 4 quadrati in fila. Il quinto finirebbe sopra il primo.
- Nessun blocco di 2 × 2 quadrati. Quattro quadrati a blocco non si possono piegare.
- Le facce opposte non si toccano mai. In una fila dritta di tre quadrati, il primo e il terzo finiscono uno di fronte all'altro.
La sfera è l'eccezione: non ha uno sviluppo. Non si può appiattire una palla senza stirarla o strapparla, ed è per questo che tutte le carte piane della Terra sono un po' deformate.
Lo sviluppo serve anche a calcolare l'area della superficie totale: l'area dello sviluppo è la somma delle aree di tutte le facce del solido.
Esempi
- La croce. Una fila di 4 quadrati con un quadrato sopra e uno sotto il secondo. È lo sviluppo del cubo più famoso.
- La scaletta. Quadrati a due a due: 2, poi 2, poi 2, ogni coppia spostata di un quadrato. Anche questa forma un cubo.
- Il cilindro. Per una lattina con raggio 3 cm e altezza 8 cm, il rettangolo è alto 8 cm e lungo quanto la circonferenza di base: 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
- Non è uno sviluppo. Sei quadrati in un rettangolo 2 × 3 contengono blocchi di 2 × 2: non formano un cubo.
Errori comuni
- Sbagliare il numero di facce. Un prisma a base triangolare ha 5 facce, non 6. Soluzione: conta prima le facce del solido, poi disegna.
- Pensare che 6 quadrati qualsiasi formino un cubo. Soluzione: cerca file di 5 o più quadrati, blocchi di 2 × 2 e quadrati che finirebbero sulla stessa faccia.
- Disegnare troppo corto il rettangolo del cilindro. La sua lunghezza deve essere uguale alla circonferenza (2πr), altrimenti le basi non combaciano.
- Contare come nuovi gli sviluppi ruotati. Soluzione: ritagliali. Se uno si sovrappone esattamente all'altro, è lo stesso.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Conta le facceDai un nome al solido ed elenca le sue facce; per esempio il cubo: 6 quadrati.
- Disegna la fila centraleCon il righello traccia una fila di 4 quadrati uguali, per esempio di 5 cm di lato. Saranno le quattro facce laterali.
- Aggiungi base e coperchioDisegna un quadrato sopra e uno sotto lo stesso quadrato della fila.
- Aggiungi le aletteDisegna piccole alette su 7 dei bordi esterni, così potrai incollarlo.
- Ritaglia, piega e incollaRitaglia il contorno, piega tutte le linee dalla stessa parte e incolla le alette all'interno.
Perché 7 alette? Il cubo ha 12 spigoli. Nello sviluppo, 5 sono già uniti da una piega, quindi restano 12 − 5 = 7 spigoli da incollare.
Esercizi
Lo sviluppo dei solidi
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Quante facce ha lo sviluppo di un parallelepipedo?
Mostra la soluzione
Il parallelepipedo ha 6 facce, quindi lo sviluppo ha 6 rettangoli. - Quali figure formano lo sviluppo di un prisma a base triangolare?
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2 triangoli e 3 rettangoli - Quale solido si forma con 4 triangoli uguali?
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Un tetraedro (piramide a base triangolare) - Uno sviluppo ha 2 esagoni e 6 rettangoli. Che solido forma?
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Un prisma a base esagonale - Quante facce ha lo sviluppo di una piramide a base pentagonale?
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1 pentagono + 5 triangoli = 6 facce - Sei quadrati in un'unica fila dritta: è uno sviluppo del cubo?
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No. Le estremità si sovrapporrebbero. Non ci sono mai più di 4 quadrati in fila. - Sei quadrati che formano un rettangolo 2 × 3: è uno sviluppo del cubo?
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No. Contiene blocchi di 2 × 2, che non si piegano. - Una fila di 4 quadrati con un quadrato sopra e uno sotto il secondo: è uno sviluppo del cubo?
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Sì, è la croce. - Una fila di 4 quadrati con gli altri due quadrati entrambi sopra la fila: è uno sviluppo del cubo?
Mostra la soluzione
No. I due quadrati in più si piegano tutti e due sul coperchio e manca la base. - Nella croce la fila è numerata 1, 2, 3, 4 e i quadrati 5 e 6 sono sopra e sotto il 2. Quale quadrato è opposto all'1?
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In una fila, due quadrati separati da uno sono opposti: il 3. - Lo sviluppo di un cubo è fatto di quadrati di 6 cm di lato. Qual è la sua area?
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6 × 6 × 6 = 216 cm² - Qual è l'area dello sviluppo di un parallelepipedo di 5 cm × 3 cm × 2 cm?
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2 × (15 + 10 + 6) = 2 × 31 = 62 cm² - Un cilindro ha raggio 7 cm. Quanto è lungo il rettangolo del suo sviluppo? Usa π ≈ 3,14.
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2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm - Ogni sviluppo del cubo ha 14 lati sul contorno. Qual è il perimetro di uno sviluppo con quadrati di 4 cm?
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14 × 4 = 56 cm
Problemi
Gli sviluppi nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Costruisci una scatola regalo a forma di cubo con spigolo di 10 cm. Quanto cartoncino serve, senza contare le alette?
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6 × 10 × 10 = 600 cm² - Una scatola di fazzoletti è lunga 24 cm, larga 12 cm e alta 10 cm. Qual è l'area del suo sviluppo, senza alette?
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2 × (288 + 240 + 120) = 2 × 648 = 1.296 cm² - Una lattina ha raggio 4 cm e altezza 11 cm. Quanto misura l'etichetta di carta che la avvolge? Usa π ≈ 3,14.
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Lunghezza: 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm, quindi 25,12 cm per 11 cm (circa 276 cm²). - In un dado, le facce opposte sommano 7. Nello sviluppo di un dado scrivi 3 a un'estremità di una fila di tre quadrati. Che numero va all'altra estremità?
Mostra la soluzione
Le estremità di una fila di tre sono opposte: 7 − 3 = 4. - Una tenda è un prisma a base triangolare lungo 2 m. Ogni estremità è un triangolo con base 1,6 m e altezza 0,6 m, e ogni falda inclinata è larga 1 m. Quanta stoffa copre le due estremità e le due falde?
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Estremità: 2 × (1,6 × 0,6 : 2) = 0,96 m²; falde: 2 × 1 × 2 = 4 m²; totale 4,96 m²
Domande frequenti
Che cos'è lo sviluppo dei solidi?
È la figura piana che si ottiene aprendo un solido lungo alcuni spigoli. Ripiegata sulle linee, forma il solido senza buchi e senza sovrapposizioni.
Quanti sviluppi ha il cubo?
Esattamente 11. Hanno tutti 6 quadrati, e le versioni ruotate o capovolte dello stesso disegno non si contano di nuovo.
Come si riconosce lo sviluppo di un cubo?
Servono 6 quadrati, nessuna fila di più di 4 e nessun blocco di 2 × 2. Poi immagina di piegarlo: se due quadrati finiscono sulla stessa faccia, non è uno sviluppo. Ritagliarlo e piegarlo è la prova più sicura.
Com'è lo sviluppo del parallelepipedo?
Sei rettangoli, uguali a due a due: per esempio una fila di 4 rettangoli (le facce laterali) con un rettangolo sopra e uno sotto.
Com'è lo sviluppo di cilindro e cono?
Il cilindro si apre in 2 cerchi e un rettangolo. Il cono si apre in 1 cerchio e un settore di un cerchio più grande.
La sfera ha uno sviluppo?
No. Una superficie curva come quella di una palla non si può stendere sul piano senza stirarla, quindi la sfera non ha uno sviluppo esatto.
Come si spiega lo sviluppo dei solidi ai bambini?
Partendo da scatole vere: si aprono, si guarda la figura piana e la si richiude. Poi si costruisce un cubo di carta con le alette, oppure lo scheletro di un solido con cannucce e filo, per vedere bene gli spigoli.
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Lo sviluppo dei solidi
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Schede sui solidi
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Argomenti collegati
Solidi
I solidi sono figure con lunghezza, larghezza e altezza, come cubi, sfere, cilindri e piramidi. Hanno facce, spigoli e vertici.
L'area della superficie
L'area della superficie (o superficie totale) è l'area di tutte le facce esterne di un solido. Per un cubo di lato a è 6a², perché un cubo ha sei facce quadrate uguali.
Figure piane
Le figure piane sono figure con lunghezza e larghezza ma senza spessore, come cerchi, triangoli, quadrati ed esagoni. Si possono disegnare su un foglio.
Volume
Il volume è la quantità di spazio occupata da un oggetto 3D, misurata in unità cubiche come cm³ o m³. Una scatola di 4 cm per 3 cm per 2 cm ha un volume di 24 cm³.
Facce, spigoli e vertici
Le facce sono le superfici di un solido, gli spigoli sono le linee dove si incontrano due facce e i vertici sono gli angoli. Un cubo ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.
Simmetria
Una figura ha simmetria quando una metà è l'immagine speculare dell'altra (simmetria assiale), oppure quando sembra uguale dopo essere stata ruotata (simmetria rotazionale).