Matematica
Che cosa sono facce, spigoli e vertici di un solido e come si contano?
Risposta veloce
Le facce sono le superfici di un solido, gli spigoli sono le linee dove si incontrano due facce e i vertici sono gli angoli. Un cubo ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici.
In una frase
Una faccia è una superficie di un solido, uno spigolo è la linea dove si incontrano due facce e un vertice è l'angolo dove si incontrano gli spigoli.
Spiegazione
Prendi un dado o una scatola di cartone. I lati piatti su cui puoi appoggiare la mano sono le facce. Passa il dito lungo la piega dove due facce si toccano: quello è uno spigolo. Fermati su un angolo appuntito: quello è un vertice.
scatola
tenda
gelato
Le facce di un poliedro sono figure piane: quelle del cubo sono quadrati, e il prisma a base triangolare ha 2 triangoli e 3 rettangoli. Se apri il solido, vedi tutte le facce insieme nel suo sviluppo.
| Solido | Facce | Spigoli | Vertici |
|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 12 | 8 |
| Parallelepipedo rettangolo | 6 | 12 | 8 |
| Prisma a base triangolare | 5 | 9 | 6 |
| Prisma a base pentagonale | 7 | 15 | 10 |
| Prisma a base esagonale | 8 | 18 | 12 |
| Tetraedro (piramide a base triangolare) | 4 | 6 | 4 |
| Piramide a base quadrata | 5 | 8 | 5 |
| Cilindro | 3 (2 piane, 1 curva) | 2 | 0 |
| Cono | 2 (1 piana, 1 curva) | 1 | 1 |
| Sfera | 1 curva | 0 | 0 |
Non serve imparare la tabella a memoria: prismi e piramidi seguono una regola. Se la base ha n lati:
- Prisma: facce = n + 2, spigoli = 3n, vertici = 2n. (Due basi e n rettangoli; n spigoli intorno a ogni base e n che le collegano.)
- Piramide: facce = n + 1, spigoli = 2n, vertici = n + 1. (Una base e n triangoli; n spigoli intorno alla base e n che salgono al vertice.)
Per ogni solido con facce piane e senza buchi (un poliedro) c'è una verifica famosa, la formula di Eulero:
F + V − S = 2 (facce + vertici − spigoli = 2)
Per il cubo: 6 + 8 − 12 = 2. Se contando non ti viene 2, hai dimenticato qualcosa.
I solidi rotondi (cilindro, cono e sfera) sono più delicati, e non tutti i libri li contano allo stesso modo. Alla primaria si dice spesso che il cilindro ha 3 facce (2 basi piane e 1 superficie curva), 2 spigoli curvi e nessun vertice, e che il cono ha 2 facce, 1 spigolo e 1 vertice (la punta). Altri libri usano la parola «faccia» solo per le superfici piane e parlano di «superficie laterale». La formula di Eulero vale solo per i poliedri. Trovi altro sui solidi nella pagina sui solidi.
Esempi
- Piramide a base quadrata: facce 1 quadrato + 4 triangoli = 5; spigoli 4 alla base + 4 verso la punta = 8; vertici 4 + 1 = 5. Verifica: 5 + 5 − 8 = 2.
- Prisma a base esagonale (n = 6): facce 6 + 2 = 8, spigoli 3 × 6 = 18, vertici 2 × 6 = 12. Verifica: 8 + 12 − 18 = 2.
- Ottaedro (due piramidi a base quadrata incollate per la base): 8 facce, 12 spigoli, 6 vertici. Verifica: 8 + 6 − 12 = 2.
Errori comuni
- Dimenticare la parte nascosta. In un disegno vedi solo 3 facce del cubo, ma ne ha 6. Soluzione: conta a gruppi (sopra, sotto, lati) o usa un oggetto vero.
- Contare due volte lo stesso spigolo. Ogni spigolo appartiene a due facce. Soluzione: conta quelli della base di sopra, poi quelli di sotto e infine quelli che salgono.
- Confondere spigoli e vertici. Gli spigoli sono linee, i vertici sono punti. Il cubo ha più spigoli (12) che vertici (8).
- Usare la formula di Eulero per cilindro o cono. Vale solo per i poliedri senza buchi.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Riconosci il solidoÈ un prisma, una piramide o un solido rotondo? Trova la base e conta i suoi lati (n).
- Conta le facceBasi più facce laterali: n + 2 per il prisma, n + 1 per la piramide.
- Conta gli spigoliFai il giro di ogni base, poi conta gli spigoli che le collegano o che salgono alla punta.
- Conta i verticiQuelli di ogni base, più la punta se è una piramide.
- Verifica con EuleroFacce + vertici − spigoli deve fare 2.
Esercizi
Facce, spigoli e vertici
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Quante facce ha un parallelepipedo?
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6 - Quanti vertici ha un cubo?
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4 sopra + 4 sotto = 8 - Quanti spigoli ha una piramide a base quadrata?
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4 alla base + 4 verso la punta = 8 - Indica facce, spigoli e vertici di un tetraedro.
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4 facce, 6 spigoli, 4 vertici - Indica facce, spigoli e vertici di un prisma a base triangolare.
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5 facce, 9 spigoli, 6 vertici - Indica facce, spigoli e vertici di un prisma a base pentagonale.
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n = 5: 5 + 2, 3 × 5, 2 × 5 = 7 facce, 15 spigoli, 10 vertici - Indica facce, spigoli e vertici di una piramide a base esagonale.
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n = 6: 6 + 1, 2 × 6, 6 + 1 = 7 facce, 12 spigoli, 7 vertici - Indica facce, spigoli e vertici di un prisma a base ottagonale.
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n = 8: 10 facce, 24 spigoli, 16 vertici - Una piramide ha una base con 10 lati. Quante facce, spigoli e vertici ha?
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11 facce, 20 spigoli, 11 vertici - Verifica la formula di Eulero per il prisma a base esagonale.
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8 + 12 − 18 = 2: è verificata. - Un poliedro ha 6 facce e 12 spigoli. Quanti vertici ha?
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V = 2 − 6 + 12 = 8 - Un poliedro ha 12 vertici e 30 spigoli. Quante facce ha?
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F = 2 + 30 − 12 = 20 - Un prisma ha 18 spigoli. Che forma ha la sua base?
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3n = 18, quindi n = 6: un esagono (prisma a base esagonale). - Una piramide ha 9 facce. Quanti spigoli ha?
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n + 1 = 9, quindi n = 8 e spigoli = 2 × 8 = 16 - Secondo la regola più usata a scuola, quante facce, spigoli e vertici ha un cilindro?
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3 facce (2 piane e 1 curva), 2 spigoli, 0 vertici - Qualcuno dice che un poliedro ha 7 facce, 10 vertici e 14 spigoli. È possibile?
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7 + 10 − 14 = 3, non 2, quindi no.
Problemi
Facce, spigoli e vertici nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Costruisci lo scheletro di un cubo con cannucce e palline di plastilina. Quante cannucce e quante palline ti servono?
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Una cannuccia per spigolo e una pallina per vertice: 12 cannucce e 8 palline - Costruisci lo scheletro di una piramide a base quadrata con cannucce da 10 cm. Quanti centimetri di cannuccia usi in tutto?
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8 spigoli × 10 cm = 80 cm - Colori ogni faccia di un prisma a base triangolare con un colore diverso. Quanti colori ti servono?
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5 - Una scatola è lunga 30 cm, larga 20 cm e alta 10 cm. Metti del nastro adesivo su tutti gli spigoli. Quanto nastro ti serve?
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4 × (30 + 20 + 10) = 4 × 60 = 240 cm - Un pallone da calcio classico è cucito con 32 pezzi e ha 60 vertici. Quante cuciture (spigoli) ha?
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S = F + V − 2 = 32 + 60 − 2 = 90
Domande frequenti
Che differenza c'è tra facce, spigoli e vertici?
La faccia è una superficie del solido, lo spigolo è la linea dove due facce si incontrano, il vertice è il punto dove si incontrano gli spigoli.
Quante facce, spigoli e vertici ha un cubo?
6 facce quadrate, 12 spigoli e 8 vertici. Il parallelepipedo, come una scatola da scarpe, ha gli stessi numeri.
Quante facce, spigoli e vertici ha una piramide?
Dipende dalla base. Con una base di n lati, la piramide ha n + 1 facce, 2n spigoli e n + 1 vertici. Quella a base quadrata ha 5 facce, 8 spigoli e 5 vertici.
E un prisma?
Un prisma con base di n lati ha n + 2 facce, 3n spigoli e 2n vertici. Il prisma a base triangolare ha 5 facce, 9 spigoli e 6 vertici.
Quante facce, spigoli e vertici hanno cilindro e cono?
Di solito a scuola: il cilindro ha 3 facce (2 basi e 1 superficie curva), 2 spigoli curvi e 0 vertici; il cono ha 2 facce, 1 spigolo e 1 vertice, la punta.
E la sfera?
La sfera ha una sola superficie curva e nessuno spigolo né vertice.
Esiste una formula per facce, spigoli e vertici?
Sì, la formula di Eulero: F + V − S = 2 per ogni poliedro senza buchi. Per il cubo, 6 + 8 − 12 = 2.
Quiz veloce
Facce, spigoli e vertici
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Domanda 1 di 4
Quanti spigoli ha un cubo?
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Solidi
I solidi sono figure con lunghezza, larghezza e altezza, come cubi, sfere, cilindri e piramidi. Hanno facce, spigoli e vertici.
Figure piane
Le figure piane sono figure con lunghezza e larghezza ma senza spessore, come cerchi, triangoli, quadrati ed esagoni. Si possono disegnare su un foglio.
Volume
Il volume è la quantità di spazio occupata da un oggetto 3D, misurata in unità cubiche come cm³ o m³. Una scatola di 4 cm per 3 cm per 2 cm ha un volume di 24 cm³.
L'area della superficie
L'area della superficie (o superficie totale) è l'area di tutte le facce esterne di un solido. Per un cubo di lato a è 6a², perché un cubo ha sei facce quadrate uguali.
Lo sviluppo dei solidi
Lo sviluppo di un solido è la figura piana che, piegata, forma il solido. Lo sviluppo del cubo è fatto di 6 quadrati uniti per i lati, e il cubo ha 11 sviluppi diversi.
Simmetria
Una figura ha simmetria quando una metà è l'immagine speculare dell'altra (simmetria assiale), oppure quando sembra uguale dopo essere stata ruotata (simmetria rotazionale).