Come si semplificano le espressioni algebriche?

Un'espressione algebrica (o letterale) mescola numeri, lettere e operazioni, ma non ha il segno uguale: per esempio 3x + 2y + 5x − y. (Con il segno uguale sarebbe un'equazione, che si risolve; un'espressione si semplifica e basta.) Le parti separate da + o − sono i termini, qui dei monomi: 3x, 2y, 5x e −y. Ogni monomio ha un coefficiente, il numero, e una parte letterale, le lettere con i loro esponenti. In 5x il coefficiente è 5; in −y è −1.

I monomi simili hanno esattamente la stessa parte letterale: le stesse lettere con gli stessi esponenti. 3x e 5x sono simili. Anche 4ab e −ba, perché ab e ba sono lo stesso prodotto. Invece 2x e 2x² non sono simili, e nemmeno 6 e 6x. Si possono sommare o sottrarre solo monomi simili, sommando o sottraendo i loro coefficienti:

3x + 5x = 8x e 2y − y = y, quindi 3x + 2y + 5x − y = 8x + y.

Pensa di contare la stessa cosa: 3 volte x più 5 volte x fa 8 volte x. Ma x e y sono numeri sconosciuti diversi, quindi 8x + y non si può riunire in un solo termine. Scrivere 9xy sarebbe sbagliato.

Il segno appartiene al termine che lo segue. In 7a − 2b + a i termini sono 7a, −2b e +a. Se li sposti, portati dietro il segno: 7a + a − 2b = 8a − 2b.

Moltiplicare i monomi è diverso dal sommarli. Si moltiplicano i coefficienti e poi le parti letterali, e si possono moltiplicare anche monomi non simili: 3a · 4b = 12ab; 2x · 5x = 10x². Moltiplicando potenze con la stessa base si sommano gli esponenti: x³ · x² = x⁵ (vedi le potenze). Dividendo, al contrario: 12ab : 4a = 3b e x⁵ : x² = x³.

Prima le parentesi. Il numero fuori dalla parentesi moltiplica ogni termine dentro (proprietà distributiva): 3(x + 4) = 3x + 12. Un segno meno davanti alla parentesi cambia il segno di tutti i termini interni: −(2y − 5) = −2y + 5. Dopo aver eliminato le parentesi, si sommano i monomi simili. Le espressioni con soli numeri, come 4 + 3 · (6 − 2), si risolvono seguendo l'ordine delle operazioni.

"Semplificare" non vuol mai dire "trovare la x". Se non c'è il segno uguale, il risultato è ancora un'espressione.

Che cosa vuol dire semplificare un'espressione algebrica?#

Vuol dire scriverla in forma più breve con lo stesso valore: per esempio 2x + 3x + 4 diventa 5x + 4. Non si calcola il valore di x.

Come si semplificano le espressioni con i monomi?#

Si raggruppano i monomi simili e si sommano i loro coefficienti. In 6a + 2 − 4a + 5 i termini in a danno 2a e i numeri danno 7: il risultato è 2a + 7.

Come si semplificano le espressioni con i polinomi e le parentesi?#

Si usa la proprietà distributiva: il termine esterno moltiplica ogni termine interno, poi si sommano i simili. 2(x + 5) + 3x = 2x + 10 + 3x = 5x + 10.

Come si semplificano le potenze nelle espressioni?#

Moltiplicando potenze con la stessa base si sommano gli esponenti: a² · a³ = a⁵. Dividendo si sottraggono: a⁶ : a² = a⁴. La potenza di una potenza moltiplica gli esponenti: (a²)³ = a⁶.

Come si semplificano le espressioni con le frazioni?#

Si divide ogni termine del numeratore per il denominatore: (6x + 9) : 3 = 2x + 3. Non si può semplificare un solo termine: (x + 6) : 3 è x/3 + 2, non x + 2.

E le espressioni con parentesi tonde, quadre e graffe?#

Se contengono solo numeri, si risolvono partendo dalle parentesi più interne (tonde, poi quadre, poi graffe) e rispettando l'ordine delle operazioni. Se contengono lettere, si eliminano le parentesi dall'interno verso l'esterno e poi si sommano i monomi simili.

Che differenza c'è tra semplificare e risolvere?#

Si semplifica un'espressione (senza segno uguale) e il risultato è un'altra espressione. Si risolve un'equazione (con il segno uguale) e il risultato è un valore, come x = 4.