Matematica
Qual è l'equazione della circonferenza e come si trova?
Risposta veloce
La circonferenza di centro C(α; β) e raggio r ha equazione (x − α)² + (y − β)² = r². Se il centro è l'origine, è semplicemente x² + y² = r².
In una frase
L'equazione della circonferenza è la condizione che soddisfa ogni punto P(x; y) della circonferenza: la sua distanza dal centro è sempre uguale al raggio, e questo dà (x − α)² + (y − β)² = r².
Spiegazione
Una circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza, il raggio r, da un punto fisso, il centro. Nel piano cartesiano questa frase diventa un'equazione.
orologio
matita
righello
Equazione della circonferenza di centro C(α; β) e raggio r:
(x − α)² + (y − β)² = r²
Da dove viene? Prendi un punto qualsiasi P(x; y) della circonferenza e il centro C(α; β). Disegna un triangolo rettangolo con ipotenusa CP: il cateto orizzontale misura x − α e quello verticale y − β. Per il teorema di Pitagora, (x − α)² + (y − β)² = CP² = r². È la distanza tra due punti, elevata al quadrato.
Il caso particolare più importante è la circonferenza con centro nell'origine: α = 0 e β = 0, quindi
x² + y² = r²
Per esempio, x² + y² = 25 è la circonferenza di centro O(0; 0) e raggio 5. Passa per (5; 0), (0; 5), (−5; 0), (0; −5) e anche per (3; 4), perché 3² + 4² = 25. La circonferenza x² + y² = 1 è la circonferenza goniometrica.
Forma normale. Sviluppando i quadrati si ottiene l'equazione nella forma più usata nei libri italiani:
x² + y² + ax + by + c = 0, con centro C(−a/2; −b/2) e raggio r = √(a²/4 + b²/4 − c).
Perché sia davvero una circonferenza serve a²/4 + b²/4 − c > 0. Se è uguale a 0 la "circonferenza" si riduce a un punto; se è negativo non c'è nessun punto. In alternativa, puoi sempre completare il quadrato in x e in y.
Leggere l'equazione. Nella forma (x − α)² + (y − β)² = r² i segni nelle parentesi sono gli opposti delle coordinate del centro: (x − 2)² significa α = 2, (x + 2)² significa α = −2. Il numero a destra è r²: per il raggio fai la radice quadrata.
Interno, sulla circonferenza o esterno? Sostituisci le coordinate di un punto nel primo membro. Se ottieni esattamente r², il punto appartiene alla circonferenza; meno di r², è interno; di più, è esterno.
Esempi
| Centro | Raggio | Equazione |
|---|---|---|
| (0; 0) | 3 | x² + y² = 9 |
| (2; 5) | 4 | (x − 2)² + (y − 5)² = 16 |
| (−3; 1) | 6 | (x + 3)² + (y − 1)² = 36 |
| (4; −2) | √7 | (x − 4)² + (y + 2)² = 7 |
| (0; −5) | 1 | x² + (y + 5)² = 1 |
Esempio svolto 1 (centro e un punto): trova la circonferenza di centro C(−1; 2) che passa per P(5; 10). Il raggio è la distanza CP: r² = (5 − (−1))² + (10 − 2)² = 36 + 64 = 100. L'equazione è (x + 1)² + (y − 2)² = 100, e r = 10.
Esempio svolto 2 (forma normale): trova centro e raggio di x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Qui a = −4, b = 6, c = −3: α = 2, β = −3 e r = √(4 + 9 + 3) = √16 = 4. Quindi C(2; −3), r = 4, cioè (x − 2)² + (y + 3)² = 16.
Errori comuni
- Sbagliare i segni del centro. (x + 3)² + (y − 1)² = 36 ha centro (−3; 1), non (3; −1). Nella forma normale il centro è (−a/2; −b/2): attenzione al segno meno.
- Dimenticare di elevare il raggio al quadrato. Con raggio 6 si scrive … = 36, non … = 6.
- Scambiare r² per il raggio. In x² + y² = 49 il raggio è √49 = 7, non 49.
- Sbagliare il segno di c. In r = √(a²/4 + b²/4 − c) c'è "− c": con c = −3 diventa + 3.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Trova il centroLeggilo nel testo, oppure calcola il punto medio se conosci gli estremi di un diametro.
- Trova r²Usa il raggio dato o il quadrato della distanza dal centro a un punto della circonferenza.
- SostituisciInserisci α, β e r² in (x − α)² + (y − β)² = r².
- VerificaSostituisci un punto noto della circonferenza: i due membri devono essere uguali.
- Dalla forma normaleLeggi a, b, c; calcola C(−a/2; −b/2) e r = √(a²/4 + b²/4 − c).
La retta tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Così si trova l'equazione di una tangente, come nell'esercizio 16.
Esercizi
Equazione della circonferenza
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Scrivi l'equazione della circonferenza di centro O(0; 0) e raggio 5.
Mostra la soluzione
x² + y² = 25 - Scrivi l'equazione della circonferenza di centro (2; 3) e raggio 4.
Mostra la soluzione
(x − 2)² + (y − 3)² = 16 - Scrivi l'equazione della circonferenza di centro (−1; 4) e raggio 3.
Mostra la soluzione
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 - Trova centro e raggio di (x − 5)² + (y + 2)² = 49.
Mostra la soluzione
C(5; −2), r = 7 - Trova centro e raggio di x² + (y − 1)² = 10.
Mostra la soluzione
C(0; 1), r = √10 ≈ 3,16 - Il punto (3; 4) appartiene alla circonferenza x² + y² = 25?
Mostra la soluzione
3² + 4² = 9 + 16 = 25: sì - Il punto (1; 2) è interno, esterno o sulla circonferenza (x − 4)² + (y − 6)² = 16?
Mostra la soluzione
(1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 > 16: esterno - Una circonferenza ha centro (1; −2) e passa per (4; 2). Trova la sua equazione.
Mostra la soluzione
r² = 3² + 4² = 25: (x − 1)² + (y + 2)² = 25 - Gli estremi di un diametro sono A(−2; 1) e B(6; 7). Trova l'equazione della circonferenza.
Mostra la soluzione
Centro = punto medio (2; 4); r² = (6 − 2)² + (7 − 4)² = 16 + 9 = 25: (x − 2)² + (y − 4)² = 25 - Trova centro e raggio di x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Mostra la soluzione
α = 3, β = −2, r = √(9 + 4 + 12) = √25: C(3; −2), r = 5 - Trova centro e raggio di x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.
Mostra la soluzione
α = −4, β = 1, r = √(16 + 1 − 8) = √9: C(−4; 1), r = 3 - Scrivi (x − 2)² + (y + 5)² = 9 in forma normale.
Mostra la soluzione
x² − 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 9 = 0: x² + y² − 4x + 10y + 20 = 0 - In quali punti (x − 3)² + (y − 1)² = 25 interseca l'asse y?
Mostra la soluzione
Con x = 0: 9 + (y − 1)² = 25, quindi (y − 1)² = 16 e y − 1 = ±4: (0; 5) e (0; −3) - x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 è una circonferenza?
Mostra la soluzione
a²/4 + b²/4 − c = 1 + 4 − 10 = −5 < 0: no, non è una circonferenza. - Trova la circonferenza passante per (0; 0), (6; 0) e (0; 8).
Mostra la soluzione
In x² + y² + ax + by + c = 0: (0; 0) dà c = 0; (6; 0) dà 36 + 6a = 0, a = −6; (0; 8) dà 64 + 8b = 0, b = −8. Quindi x² + y² − 6x − 8y = 0: (x − 3)² + (y − 4)² = 25 - Trova la retta tangente a x² + y² = 25 nel punto (3; 4).
Mostra la soluzione
Il raggio fino a (3; 4) ha coefficiente angolare 4/3, la tangente quindi −3/4: y − 4 = −¾(x − 3), cioè 3x + 4y = 25
Problemi
Circonferenze su una mappa
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Un ripetitore in (0; 0) copre tutto entro 8 km. Scrivi l'equazione del bordo della zona coperta. Una casa in (5; 6) (in km) ha campo?
Mostra la soluzione
x² + y² = 64; 5² + 6² = 61 < 64, la casa è interna: sì. - Un irrigatore in (3; 2) bagna tutto fino a 4 m. Scrivi l'equazione del bordo della zona bagnata. Arriva a un cespuglio di rose in (6; 6)?
Mostra la soluzione
(x − 3)² + (y − 2)² = 16; (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 > 16: no (il cespuglio è a 5 m). - Su una pianta in metri, il bordo di uno stagno rotondo ha equazione x² + y² − 10x − 8y + 32 = 0. Trova centro e raggio.
Mostra la soluzione
α = 5, β = 4, r = √(25 + 16 − 32) = √9: C(5; 4), r = 3 m - Una ruota panoramica ha il centro a 20 m da terra e raggio 18 m. Con il suolo come asse x e il centro in (0; 20), scrivi l'equazione e trova l'altezza della cabina più bassa.
Mostra la soluzione
x² + (y − 20)² = 324; punto più basso 20 − 18 = 2 m da terra. - Una capra è legata a un palo in (2; −1) con una corda di 5 m. Arriva a una carota in (5; 3)?
Mostra la soluzione
(5 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25 = 5²: la carota è proprio sul bordo, sì, appena.
Domande frequenti
Come si trova l'equazione della circonferenza dati centro e raggio?
Si sostituiscono le coordinate del centro e il raggio in (x − α)² + (y − β)² = r². Con centro (2; −1) e raggio 3: (x − 2)² + (y + 1)² = 9, cioè x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.
Che cos'è c nell'equazione della circonferenza?
È il termine noto della forma normale x² + y² + ax + by + c = 0, e vale c = α² + β² − r². Se c = 0 la circonferenza passa per l'origine, perché (0; 0) soddisfa l'equazione.
Come si trova l'equazione della circonferenza passante per tre punti?
Si sostituisce ogni punto in x² + y² + ax + by + c = 0 e si risolve il sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c. In alternativa, il centro è l'intersezione degli assi di due corde.
E se si conoscono solo due punti?
Se sono gli estremi di un diametro, il centro è il loro punto medio e il raggio metà della loro distanza. Altrimenti per due punti passano infinite circonferenze: serve un'altra informazione, per esempio la retta su cui sta il centro.
Che cos'è la circonferenza goniometrica?
È la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, x² + y² = 1. Si usa in trigonometria: il punto che corrisponde all'angolo t ha coordinate (cos t; sin t).
Dall'equazione si può calcolare l'area?
Sì: trovi r e usi area = πr² e lunghezza = 2πr. Per x² + y² = 25, r = 5: l'area è 25π ≈ 78,5 unità quadrate e la lunghezza 10π ≈ 31,4 unità.
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Equazione della circonferenza
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Domanda 1 di 4
Quali sono il centro e il raggio di (x − 3)² + (y + 4)² = 36?
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Distanza tra due punti
La distanza tra A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂) è d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). È il teorema di Pitagora applicato nel piano cartesiano.
Teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora dice che in un triangolo rettangolo a² + b² = c², dove c è il lato più lungo (l'ipotenusa). Se i cateti sono 3 e 4, l'ipotenusa è 5.
Completamento del quadrato
Completare il quadrato significa scrivere x² + bx + c come (x + b/2)² − (b/2)² + c. Serve a risolvere le equazioni di secondo grado, trovare il vertice della parabola e ricavare la formula risolutiva.
Angoli formati da due rette parallele e una trasversale
Se una trasversale taglia due parallele, gli angoli corrispondenti e gli alterni sono congruenti e i coniugati sono supplementari. Gli angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.
L'area del cerchio
L'area del cerchio è pi greco per il raggio al quadrato: A = πr². Un cerchio con raggio 5 cm ha un'area di circa 78,5 centimetri quadrati.