Come si calcola la distanza tra due punti nel piano cartesiano?

Immagina la cartina del tuo quartiere disegnata su un foglio a quadretti. Casa tua è in (1; 2) e la biblioteca in (4; 6). Seguendo i quadretti faresti 3 passi a destra e 4 in su, ma un uccello volerebbe dritto. Quanto è lunga quella linea retta? È proprio quello che calcola la formula della distanza.

Se disegni lo spostamento orizzontale e quello verticale, ottieni un triangolo rettangolo. Il segmento AB è il lato più lungo, l'ipotenusa. Quindi la formula è il teorema di Pitagora (a² + b² = c²) travestito. Per A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂):

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Molti libri scrivono le coordinate con le lettere dei punti: AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). È la stessa formula.

Per casa e biblioteca: Δx = 4 − 1 = 3 e Δy = 6 − 2 = 4, quindi AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 quadretti.

Tre cose utili da sapere:

• L'ordine dei punti non conta. 3 − 7 = −4 e 7 − 3 = 4, ma al quadrato danno entrambi 16.
• Una distanza non è mai negativa. I quadrati non sono negativi e si prende la radice positiva.
• Stessa ascissa o stessa ordinata? Niente formula. Se i punti hanno la stessa x, stanno su una retta verticale: basta sottrarre le y. Da (2; 3) a (2; −4) ci sono 3 − (−4) = 7 unità. Con la stessa y, si sottraggono le x.

Spesso il risultato non è intero. √20 vale circa 4,47 e si semplifica in 2√5 (vedi le radici quadrate). Se ti chiedono il valore esatto, lascia la radice.

La stessa idea funziona nello spazio: si aggiunge la differenza delle quote z come terzo quadrato, AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Così si calcola la diagonale di un parallelepipedo.

La distanza va insieme ad altre due formule per due punti dati con le loro coordinate: il punto medio M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2), che sta esattamente a metà del segmento, e il coefficiente angolare (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), che dice quanto è inclinata la retta.

Controllo veloce: la distanza è almeno grande quanto la maggiore delle due differenze e al massimo uguale alla loro somma. Da (1; 2) a (4; 6), 5 sta tra 4 e 3 + 4 = 7: torna.

Cos'è la distanza tra due punti?#

È la lunghezza del segmento che unisce i due punti, cioè il percorso più breve tra loro, in linea retta.

Qual è la formula della distanza tra due punti?#

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Sottrai le ascisse e le ordinate, elevi al quadrato, sommi e fai la radice quadrata.

Come si calcola la distanza tra due punti nel piano cartesiano?#

Se i punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata, basta sottrarre le altre coordinate. Altrimenti disegna il triangolo rettangolo o usa la formula: eleva al quadrato Δx e Δy, somma e fai la radice.

Come si calcola la distanza tra due punti nello spazio?#

Si aggiunge un terzo termine con le quote: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Da (1; 2; 3) a (3; 5; 9) si ottiene √(4 + 9 + 36) = 7.

Come si calcola la distanza tra un punto e una retta?#

Per il punto P(x₀; y₀) e la retta ax + by + c = 0, la distanza è |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Dal punto (1; 2) alla retta 3x + 4y − 1 = 0: |3 + 8 − 1| / 5 = 2.

Come si calcola la distanza tra due punti su Google Maps?#

Dal computer, fai clic con il tasto destro sulla mappa, scegli "Misura distanza" e clicca sui punti. La mappa misura sulla superficie curva della Terra, quindi non usa questa formula piana; per una zona piccola, però, la formula è un'ottima approssimazione.