Quali sono i criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11?

Hai 234 biscotti e vuoi metterli in scatole da 9 senza che ne avanzi nessuno. Potresti fare la divisione, ma c’è un modo più rapido: somma le cifre. 2 + 3 + 4 = 9, e 9 è divisibile per 9, quindi lo è anche 234. (Vengono 26 scatole.) Questa scorciatoia è un criterio di divisibilità.

“Divisibile per” vuol dire “si divide esattamente, con resto 0”. 234 è divisibile per 9 perché 234 : 9 = 26 esatto. Non è divisibile per 5, perché 234 : 5 dà resto 4. Si dice anche che 234 è un multiplo di 9 e che 9 è un divisore di 234.

I criteri si raggruppano in tre famiglie, così si ricordano meglio:

• Guardare le ultime cifre. Per 2, 5 e 10 basta l’ultima cifra, perché 10 è divisibile per tutti e tre. Per 4 e 25 servono le ultime due cifre, perché 100 è divisibile per 4 e per 25. Per 8 le ultime tre, perché 1000 è divisibile per 8.
• Sommare le cifre. Per 3 e 9 si usa la somma delle cifre. Funziona perché 10, 100, 1000… sono ciascuno un multiplo di 9 più 1 (9, 99, 999): un numero e la somma delle sue cifre danno quindi lo stesso resto nella divisione per 3 o per 9.
• Combinare due criteri. 6 = 2 · 3, quindi si controllano il 2 e il 3. 12 = 3 · 4, quindi si controllano il 3 e il 4. Funziona solo se i due numeri non hanno divisori comuni oltre a 1.

Poi ci sono due criteri speciali: quello dell’11 (si sottraggono e si sommano le cifre a turno) e quello del 7 (si raddoppia l’ultima cifra e la si sottrae dal resto). Richiedono un po’ di pratica, ma fanno risparmiare tante divisioni in colonna.

I criteri aiutano con multipli e divisori, a semplificare le frazioni e a riconoscere i numeri primi: un numero che supera il test del 2, 3, 5, 7 o 11 (e non è quel numero stesso) non può essere primo.

Quando ti servono tutti i divisori di un numero, passa i criteri in quest’ordine e annota quelli che funzionano. È il modo più veloce per cominciare la scomposizione in fattori primi.

Quali sono i criteri di divisibilità dei numeri?#

Un numero è divisibile per 2 se finisce con una cifra pari; per 3 se la somma delle cifre è divisibile per 3; per 4 se lo sono le ultime due cifre; per 5 se finisce con 0 o 5; per 6 se è divisibile per 2 e per 3; per 9 se la somma delle cifre è divisibile per 9; per 10 se finisce con 0.

Qual è il criterio di divisibilità per 7?#

Si separa l’ultima cifra, la si raddoppia e la si sottrae dal numero formato dalle altre cifre. Se il risultato è divisibile per 7 (anche 0), lo è anche il numero di partenza. Per 203: 20 − 6 = 14, quindi 203 è divisibile per 7.

Qual è il criterio di divisibilità per 11?#

Partendo da destra, si sottraggono e si sommano le cifre a turno; in altre parole, si fa la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari. Se viene 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11. Per 2728: 8 − 2 + 7 − 2 = 11, quindi sì.

Qual è il criterio di divisibilità per 25?#

Un numero è divisibile per 25 se le sue ultime due cifre sono 00, 25, 50 o 75, perché 100 è divisibile per 25. Per esempio 1375 sì, 1340 no.

Esiste un criterio di divisibilità per 13?#

Sì: si prende l’ultima cifra, la si moltiplica per 4 e la si aggiunge al numero formato dalle altre cifre. Se il risultato è divisibile per 13, lo è anche il numero. Per 182: 18 + 8 = 26 = 2 · 13, quindi 182 è divisibile per 13.

Come spiegare i criteri di divisibilità?#

Raggruppandoli: ultima cifra per 2, 5 e 10; ultime due per 4 e 25; ultime tre per 8; somma delle cifre per 3 e 9; combinazioni per 6 e 12. Un cartellone con un esempio per ogni criterio aiuta molto, e si può mostrare perché quello del 3 funziona: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1.