गणित
गणित में आयतन (volume) क्या होता है?
छोटा जवाब
आयतन किसी 3D वस्तु द्वारा घेरी गई जगह है, जिसे cm³ या m³ जैसी घन इकाइयों में मापते हैं। 4 सेमी × 3 सेमी × 2 सेमी के डिब्बे का आयतन 24 cm³ है।
एक वाक्य में
आयतन वह जगह है जो कोई ठोस वस्तु घेरती है, घनों में गिनी हुई।
समझिए
क्षेत्रफल उन वर्गों को गिनता है जो किसी सपाट आकृति को ढकते हैं। आयतन एक कदम आगे जाता है: वह उन घनों को गिनता है जो किसी 3D आकृति को भर देते हैं। इसीलिए आयतन घन इकाइयों में नापा जाता है, जैसे घन सेंटीमीटर (cm³) और घन मीटर (m³)। चीनी का एक टुकड़ा लगभग 1 cm³ होता है।
ब्लॉक- ब्लॉक
- ब्लॉक
डिब्बा
सोचिए एक डिब्बा 4 सेमी लंबा, 3 सेमी चौड़ा और 2 सेमी ऊँचा है। सबसे नीचे की परत में 4 × 3 = 12 घन आते हैं। ऐसी 2 परतें हैं, इसलिए 12 × 2 = 24 घन। आयतन 24 cm³ है। इससे घनाभ का नियम मिलता है:
आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
घन में सारी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए आयतन = भुजा × भुजा × भुजा, जिसे भुजा³ लिखते हैं ("भुजा का घन" पढ़ें)। 5 सेमी भुजा वाले घन का आयतन 5³ = 125 cm³ है। घातों में "घन" शब्द यहीं से आया है।
यही विचार किसी भी प्रिज़्म पर लागू होता है (जिसका अनुप्रस्थ काट पूरी लंबाई में एक जैसा हो): आयतन = सिरे का क्षेत्रफल × लंबाई। बेलन भी ऐसे ही चलता है: वृत्त का क्षेत्रफल × ऊँचाई।
आयतन और धारिता करीबी रिश्तेदार हैं। आयतन वह जगह है जो वस्तु घेरती है; धारिता यह है कि कोई बर्तन कितना भर सकता है। इन्हें एक बढ़िया तथ्य जोड़ता है: 1 cm³ में ठीक 1 ml आता है, और 1,000 cm³ यानी 1 लीटर।
उदाहरण
| आकृति | हल | आयतन |
|---|---|---|
| घनाभ 10 सेमी × 4 सेमी × 3 सेमी | 10 × 4 × 3 | 120 cm³ |
| घन, भुजा 2 मी | 2 × 2 × 2 | 8 m³ |
| घन, भुजा 10 सेमी | 10 × 10 × 10 | 1,000 cm³ = 1 लीटर |
| त्रिकोणीय प्रिज़्म: सिरे का क्षेत्रफल 6 cm², लंबाई 10 सेमी | 6 × 10 | 60 cm³ |
हल किया उदाहरण: एक मछलीघर 50 सेमी लंबा, 30 सेमी चौड़ा और 40 सेमी ऊँचा है। आयतन = 50 × 30 × 40 = 60,000 cm³, यानी भरने पर उसमें 60 लीटर पानी आता है।
आम गलतियाँ
- माप जोड़ देना (4 + 3 + 2 = 9), गुणा करने की जगह।
- गलत इकाई। आयतन cm³ में होता है, cm या cm² में नहीं।
- एक ही गणना में इकाइयाँ मिलाना, जैसे लंबाई मीटर में और ऊँचाई सेंटीमीटर में। हल: पहले सबको एक इकाई में बदलिए।
- 1 m³ = 100 cm³ मान लेना। यह 100 × 100 × 100 = 10,00,000 cm³ है।
छोटा क्विज़
आयतन (Volume)
4 छोटे सवालों से जाँचें कि आप कितना जानते हैं।
सवाल 1 / 4
5 सेमी लंबे, 3 सेमी चौड़े और 2 सेमी ऊँचे घनाभ का आयतन कितना है?
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धारिता (Capacity)
धारिता यह है कि कोई बर्तन कितना भर सकता है, जो आम तौर पर मिलीलीटर (ml) और लीटर (l) में मापी जाती है। पानी की बड़ी बोतल अक्सर 2 लीटर, यानी 2000 ml की होती है।
क्षेत्रफल (Area)
क्षेत्रफल किसी आकृति के भीतर की समतल जगह की मात्रा है, जो वर्ग इकाइयों जैसे cm² या m² में मापी जाती है। 4 cm × 3 cm के आयत का क्षेत्रफल 4 × 3 = 12 cm² है।
घात और घातांक (Powers and indices)
घात (power), जिसे घातांक (index या exponent) भी कहते हैं, ऊपर लिखी छोटी संख्या है जो बताती है कि संख्या को कितनी बार खुद से गुणा करना है। इसलिए 2⁴ का मतलब 2 × 2 × 2 × 2 = 16।
कोण (Angles)
कोण उन दो रेखाओं के बीच के मोड़ की मात्रा है जो एक बिंदु पर मिलती हैं। कोण अंशों (°) में मापे जाते हैं; समकोण 90° का और पूरा चक्कर 360° का होता है।
निर्देशांक (Coordinates)
निर्देशांक संख्याओं की एक जोड़ी है जो ग्रिड पर किसी बिंदु की ठीक स्थिति बताती है, जैसे (3, 5)। पहली संख्या बताती है कि कितना दाएँ (x) और दूसरी कितना ऊपर (y)।