गणित
गणित में क्षेत्रफल क्या होता है?
छोटा जवाब
क्षेत्रफल किसी आकृति के भीतर की समतल जगह की मात्रा है, जो वर्ग इकाइयों जैसे cm² या m² में मापी जाती है। 4 cm × 3 cm के आयत का क्षेत्रफल 4 × 3 = 12 cm² है।
एक वाक्य में
क्षेत्रफल बताता है कि कोई समतल आकृति कितनी सतह घेरती है, जिसे वर्गों में गिना जाता है।
समझिए
मान लीजिए आपको फ़र्श पर चौकोर टाइलें बिछानी हैं। जितनी टाइलें लगेंगी, वही फ़र्श का क्षेत्रफल है। इसीलिए क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में मापा जाता है: वर्ग सेंटीमीटर (cm²) या वर्ग मीटर (m²)।
दरी
चौखाने वाले कागज़ पर आप आकृति के भीतर के वर्ग बस गिन सकते हैं। आयत के लिए एक शॉर्टकट है। जो आयत 5 वर्ग लंबा और 3 वर्ग चौड़ा है, उसमें 5-5 वर्गों की 3 पंक्तियाँ हैं, इसलिए उसका क्षेत्रफल 5 × 3 = 15 वर्ग है। इससे यह नियम मिलता है:
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
वर्ग बराबर भुजाओं वाला आयत है, इसलिए उसका क्षेत्रफल भुजा × भुजा होता है, जो भुजा पूर्ण संख्या हो तो एक वर्ग संख्या है।
दूसरी आकृतियाँ इसी पर आधारित हैं:
- त्रिभुज: आयत को कोने से कोने तक काटें तो दो बराबर त्रिभुज मिलते हैं। इसलिए क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई है।
- समांतर चतुर्भुज: एक सिरे से त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर लगा दें तो वह आयत बन जाता है। क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।
- वृत्त: क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² (पाई देखिए)।
ऊँचाई को सीधे ऊपर की ओर (आधार से समकोण पर) नापना चाहिए, तिरछी भुजा के साथ नहीं।
मिश्रित आकृतियों जैसे L आकार के कमरे को आयतों में बाँटिए, हर एक का क्षेत्रफल निकालिए, फिर जोड़ लीजिए। या बड़े आयत का क्षेत्रफल निकालकर छूटा हुआ टुकड़ा घटा दीजिए।
क्षेत्रफल और परिमाप एक नहीं हैं। 1 m × 16 m की पट्टी और 4 m × 4 m का वर्ग, दोनों 16 m² घेरते हैं, पर उनके परिमाप 34 m और 16 m हैं।
उदाहरण
| आकृति | हल | क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| आयत 9 cm × 4 cm | 9 × 4 | 36 cm² |
| वर्ग, भुजा 12 m | 12 × 12 | 144 m² |
| त्रिभुज, आधार 8 cm, ऊँचाई 5 cm | ½ × 8 × 5 | 20 cm² |
| समांतर चतुर्भुज, आधार 7 m, ऊँचाई 3 m | 7 × 3 | 21 m² |
हल किया हुआ उदाहरण: L आकार का कमरा। इसे 6 m × 4 m के भाग (24 m²) और 3 m × 2 m के भाग (6 m²) में बाँटिए। कुल: 30 m²।
आम गलतियाँ
- गुणा करने की जगह भुजाएँ जोड़ देना। इससे परिमाप मिलता है, क्षेत्रफल नहीं।
- cm² की जगह cm लिखना। छोटा-सा 2 दिखाता है कि आपने वर्ग गिने हैं।
- त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज की तिरछी भुजा को ऊँचाई मान लेना। हल: ऊँचाई लंबवत दूरी होती है।
- इकाइयाँ गलत बदलना। 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10,000 cm², 100 cm² नहीं।
छोटा क्विज़
क्षेत्रफल (Area)
4 छोटे सवालों से जाँचें कि आप कितना जानते हैं।
सवाल 1 / 4
7 m लंबे और 3 m चौड़े आयत का क्षेत्रफल कितना है?
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जुड़े हुए विषय
परिमाप (Perimeter)
परिमाप किसी समतल आकृति के बाहरी किनारे के चारों ओर की कुल दूरी है। 5 सेमी लंबे और 3 सेमी चौड़े आयत का परिमाप 5 + 3 + 5 + 3 = 16 सेमी है।
आयतन (Volume)
आयतन किसी 3D वस्तु द्वारा घेरी गई जगह है, जिसे cm³ या m³ जैसी घन इकाइयों में मापते हैं। 4 सेमी × 3 सेमी × 2 सेमी के डिब्बे का आयतन 24 cm³ है।
वर्ग संख्याएँ (Square numbers)
वर्ग संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलती है, जैसे 4 × 4 = 16। पहली वर्ग संख्याएँ हैं 1, 4, 9, 16, 25 और 36।
गुणा (Multiplication)
गुणा बराबर समूहों को तेज़ी से जोड़ना है। 4 × 3 का मतलब 3 के 4 समूह (या 4 के 3 समूह) यानी 12। उत्तर को गुणनफल कहते हैं।
पाई (Pi, π)
पाई (π) वह संख्या है जो किसी भी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से भाग देने पर मिलती है। यह लगभग 3.14 है और इसके अंक बिना दोहराए हमेशा चलते रहते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras' theorem)
पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि समकोण त्रिभुज में a² + b² = c², जहाँ c सबसे लंबी भुजा (कर्ण) है। भुजाएँ 3 और 4 हों तो कर्ण 5 है।