गणित
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
छोटा जवाब
पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि समकोण त्रिभुज में a² + b² = c², जहाँ c सबसे लंबी भुजा (कर्ण) है। भुजाएँ 3 और 4 हों तो कर्ण 5 है।
एक वाक्य में
पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जोड़ती है: दोनों छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।
समझिए
हर समकोण त्रिभुज की एक खास भुजा होती है, कर्ण (hypotenuse)। यह समकोण के सामने की भुजा है और हमेशा सबसे लंबी होती है। दोनों छोटी भुजाओं को a और b कहिए, और कर्ण को c। तब:
a² + b² = c²
घर
स्केल
सबसे मशहूर उदाहरण 3, 4 और 5 भुजाओं वाला त्रिभुज है। जाँचिए: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, और 5² = 25। ✓
आप इसे वर्गों से देख सकते हैं। त्रिभुज की हर भुजा पर एक वर्ग बनाइए। कर्ण पर बने बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दोनों छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है: 9 + 16 = 25।
कर्ण निकालना। दोनों छोटी भुजाओं का वर्ग कीजिए, जोड़िए, फिर वर्गमूल लीजिए। एक ढलान ज़मीन की 12 मी दूरी पर 5 मी ऊपर उठती है। उसकी लंबाई √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 मी है।
छोटी भुजा निकालना। जो दो भुजाएँ पता हैं उनका वर्ग कीजिए, घटाइए, फिर वर्गमूल लीजिए। 10 मी की सीढ़ी दीवार पर 8 मी ऊँचाई तक पहुँचती है। उसका निचला सिरा दीवार से कितनी दूर है? √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 मी।
समकोण की जाँच। अगर तीन भुजाओं पर a² + b² = c² सही बैठता है, तो त्रिभुज में समकोण है। राजमिस्त्री रस्सियों और फ़ीतों के साथ 3-4-5 नियम से चौकोर कोने बनाते आए हैं।
यह प्रमेय पाइथागोरस के नाम पर है, जो लगभग 2,500 साल पहले रहने वाले एक यूनानी विचारक थे, पर प्राचीन बेबीलोन की मिट्टी की पट्टियाँ दिखाती हैं कि लोग इन खास त्रिभुजों को उनसे 1,000 साल से भी पहले जानते थे। भारत के प्राचीन शुल्बसूत्रों में भी यह संबंध मिलता है।
उदाहरण
| a | b | c (कर्ण) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1.41 |
| 7 | 24 | 25 |
3, 4, 5 जैसे पूर्ण संख्याओं के समूह पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triples) कहलाते हैं। किसी एक को किसी भी संख्या से गुणा कीजिए तो दूसरा मिल जाता है: 6, 8, 10।
आम गलतियाँ
- जहाँ घटाना चाहिए वहाँ जोड़ना। अगर कर्ण पता है, तो छोटी भुजा निकालने के लिए घटाइए।
- अंत में वर्गमूल भूल जाना, जिससे 13 की जगह 169 आ जाता है।
- ऐसे त्रिभुज पर इस्तेमाल करना जिसमें समकोण नहीं है। यह सिर्फ़ समकोण त्रिभुजों के लिए काम करता है।
- योग का वर्ग करना: (3 + 4)² = 49, जबकि 3² + 4² = 25।
छोटा क्विज़
पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras' theorem)
4 छोटे सवालों से जाँचें कि आप कितना जानते हैं।
सवाल 1 / 4
एक समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। कर्ण कितना लंबा है?
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