गणित
निर्देशांक क्या होते हैं?
छोटा जवाब
निर्देशांक संख्याओं की एक जोड़ी है जो ग्रिड पर किसी बिंदु की ठीक स्थिति बताती है, जैसे (3, 5)। पहली संख्या बताती है कि कितना दाएँ (x) और दूसरी कितना ऊपर (y)।
एक वाक्य में
निर्देशांक कोष्ठक में लिखी दो संख्याएँ हैं जो ग्रिड पर किसी जगह को ठीक-ठीक बताती हैं: पहले दाएँ, फिर ऊपर।
समझिए
चौखाने वाले कागज़ पर बने खज़ाने के नक्शे की कल्पना कीजिए। दोस्त को बताने के लिए कि खज़ाना कहाँ दबा है, आप कह सकते हैं "4 खाने दाएँ जाओ और 3 खाने ऊपर"। गणित में यही निर्देशांक (4, 3) बन जाता है।
नक्शा
जहाज़
निर्देशांक ग्रिड में दो संख्या-रेखाएँ होती हैं, जिन्हें अक्ष कहते हैं:
- x-अक्ष आड़ा (क्षैतिज) जाता है,
- y-अक्ष ऊपर (ऊर्ध्वाधर) जाता है।
वे मूल बिंदु (origin) पर मिलते हैं, जो बिंदु (0, 0) है। ग्रिड के हर बिंदु का एक x-निर्देशांक और एक y-निर्देशांक होता है, जो हमेशा इसी क्रम में, बीच में अल्पविराम के साथ लिखे जाते हैं: (x, y)।
याद रखने की एक लोकप्रिय तरकीब: "पहले गलियारे में आगे चलो, फिर सीढ़ी पर ऊपर चढ़ो"। चढ़ने से पहले आप चलकर आते हैं। दूसरी: अंग्रेज़ी वर्णमाला में x, y से पहले आता है।
हर अक्ष एक संख्या-रेखा है, इसलिए वह शून्य के पार भी जा सकती है। मूल बिंदु के बाईं ओर x ऋणात्मक है; उसके नीचे y ऋणात्मक है। इससे ग्रिड चार हिस्सों में बँट जाता है, जिन्हें चतुर्थांश (quadrants) कहते हैं। बिंदु (−2, −5) का मतलब है 2 बाएँ और 5 नीचे।
निर्देशांक से आकृतियों का ठीक-ठीक वर्णन हो सकता है। किसी वर्ग के कोने (1, 1), (4, 1), (4, 4) और (1, 4) हो सकते हैं। हर बिंदु को 2 दाईं ओर खिसका दीजिए तो वे (3, 1), (6, 1), (6, 4), (3, 4) हो जाते हैं। यह स्थानांतरण (translation) है। उसे किसी अक्ष में पलट दीजिए तो वह परावर्तन (reflection) है (सममिति देखिए)। आगे चलकर बीजगणित में आप y = 2x + 1 जैसी रेखाएँ उनके निर्देशांकों से बनाएँगे।
उदाहरण
| बिंदु | अर्थ |
|---|---|
| (2, 6) | 2 दाएँ, 6 ऊपर |
| (6, 2) | 6 दाएँ, 2 ऊपर (अलग बिंदु) |
| (0, 4) | y-अक्ष पर, 4 ऊपर |
| (−3, 1) | 3 बाएँ, 1 ऊपर |
| (5, −2) | 5 दाएँ, 2 नीचे |
हल किया हुआ उदाहरण: एक आयत के तीन कोने (1, 2), (5, 2) और (5, 6) हैं। चौथा कोना (1, 2) के साथ दाएँ-बाएँ की सीध में और (5, 6) के साथ ऊपर-नीचे की सीध में होना चाहिए, इसलिए वह (1, 6) है।
आम गलतियाँ
- क्रम उलट देना, यानी (3, 5) को 5 दाएँ और 3 ऊपर पर दिखाना। हल: "पहले गलियारे में आगे, फिर सीढ़ी पर ऊपर"।
- रेखाओं पर बिंदु लगाने की जगह खानों में लगाना। निर्देशांक वहाँ चिह्नित होते हैं जहाँ ग्रिड की रेखाएँ मिलती हैं।
- मूल बिंदु को 1 गिन लेना। गिनती 0 से शुरू कीजिए।
- मूल बिंदु के बाईं ओर या नीचे के बिंदुओं में चिह्न गलत लगाना।
छोटा क्विज़
निर्देशांक (Coordinates)
4 छोटे सवालों से जाँचें कि आप कितना जानते हैं।
सवाल 1 / 4
निर्देशांक (4, 7) में कौन-सी संख्या बताती है कि कितना दाएँ जाना है?
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