गणित
वर्गमूल (square root) क्या होता है?
छोटा जवाब
किसी संख्या का वर्गमूल वह मान है जिसे खुद से गुणा करने पर वही संख्या मिले। 25 का वर्गमूल 5 है, क्योंकि 5 × 5 = 25। इसका चिह्न √ है।
एक वाक्य में
वर्गमूल वर्ग करने को पलटता है: वह पूछता है "कौन-सी संख्या खुद से गुणा होकर यह देती है?"
समझिए
आप जानते हैं कि 6 × 6 = 36, इसलिए 36 एक वर्ग संख्या है। उलटी दिशा में, 36 का वर्गमूल 6 है। हम इसे √36 = 6 लिखते हैं। टिक जैसे इस चिह्न को मूल चिह्न (radical) कहते हैं।
वर्गाकार कालीन की कल्पना कीजिए। अगर आपको पता है कि उसका क्षेत्रफल 49 मी² है, तो वर्गमूल आपको एक भुजा की लंबाई बताता है: √49 = 7 मी। नाम यहीं से आया है: मूल वर्ग की भुजा है।
पायदान
वर्ग संख्याओं के लिए मूल एक पूर्ण संख्या होता है:
| संख्या | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 |
ज़्यादातर संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं होतीं, और उनके मूल लंबे दशमलव होते हैं जो कभी ख़त्म या दोहराए नहीं जाते। जैसे √2 = 1.41421…। फिर भी आप जानी हुई वर्ग संख्याओं से उनका अनुमान लगा सकते हैं। √30 के लिए: 5² = 25 और 6² = 36, इसलिए √30, 5 और 6 के बीच है, 5 के थोड़ा ज़्यादा करीब। कैलकुलेटर 5.477… बताता है।
सख़्ती से, हर धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल होते हैं, क्योंकि (−6) × (−6) = 36 भी है। √ चिह्न धनात्मक वाले को बताता है। x² = 36 हल करते समय बड़े विद्यार्थी x = 6 या x = −6 लिखते हैं (अक्सर ±6 के रूप में)।
दूसरे मूल भी हैं। घनमूल ∛ घन करने को पलटता है: ∛64 = 4 क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64।
वर्गमूल पाइथागोरस प्रमेय के लिए ज़रूरी हैं, जहाँ अक्सर आप अंत में मूल निकालते हैं।
उदाहरण
- √9 = 3
- √100 = 10
- √400 = 20 (क्योंकि 20 × 20 = 400)
- √0.25 = 0.5 (क्योंकि 0.5 × 0.5 = 0.25)
- √20 लगभग 4.47 है (4 और 5 के बीच)
- ∛125 = 5
आम गलतियाँ
- मूल की जगह आधा करना। √16 का मान 4 है, 8 नहीं। हल: अपने उत्तर को खुद से गुणा करके जाँचिए।
- यह सोचना कि बड़ी संख्या का √ हमेशा दशमलव होता है। √10,000 = 100 ठीक-ठीक।
- मूलों को सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ना। √9 + √16 = 3 + 4 = 7, पर √25 = 5। आप मूल चिह्न के नीचे सीधे जोड़ नहीं सकते।
छोटा क्विज़
वर्गमूल (Square roots)
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वर्गमूल और घात का अभ्यास
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जुड़े हुए विषय
वर्ग संख्याएँ (Square numbers)
वर्ग संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलती है, जैसे 4 × 4 = 16। पहली वर्ग संख्याएँ हैं 1, 4, 9, 16, 25 और 36।
घात और घातांक (Powers and indices)
घात (power), जिसे घातांक (index या exponent) भी कहते हैं, ऊपर लिखी छोटी संख्या है जो बताती है कि संख्या को कितनी बार खुद से गुणा करना है। इसलिए 2⁴ का मतलब 2 × 2 × 2 × 2 = 16।
पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras' theorem)
पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि समकोण त्रिभुज में a² + b² = c², जहाँ c सबसे लंबी भुजा (कर्ण) है। भुजाएँ 3 और 4 हों तो कर्ण 5 है।
आकलन (Estimation)
आकलन का मतलब है उत्तर का समझदारी भरा अंदाज़ा लगाना, आम तौर पर पहले संख्याओं का पूर्णांकन करके। यह बताता है कि मोटे तौर पर क्या उम्मीद करें और गलतियाँ पकड़ने में मदद करता है।
पाई (Pi, π)
पाई (π) वह संख्या है जो किसी भी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से भाग देने पर मिलती है। यह लगभग 3.14 है और इसके अंक बिना दोहराए हमेशा चलते रहते हैं।
गुणनखंड और गुणज (Factors and multiples)
गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो किसी संख्या में ठीक-ठीक जाती हैं (12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं)। गुणज उसके पहाड़े की संख्याएँ हैं (12, 24, 36…)।