गणित

घात और घातांक (powers and indices) क्या होते हैं?

छोटा जवाब

घात (power), जिसे घातांक (index या exponent) भी कहते हैं, ऊपर लिखी छोटी संख्या है जो बताती है कि संख्या को कितनी बार खुद से गुणा करना है। इसलिए 2⁴ का मतलब 2 × 2 × 2 × 2 = 16।

उम्र 11–16माध्यमिक

एक वाक्य में

घात बताती है कि किसी संख्या की कितनी प्रतियों को आपस में गुणा करना है, इसलिए 5³ = 5 × 5 × 5 = 125।

समझिए

3 × 3 × 3 × 3 × 3 लिखना थका देने वाला है। इसके बजाय हम 3⁵ लिखते हैं। बड़ी संख्या 3 आधार (base) है। ऊपर लिखी छोटी संख्या 5 घात (power) है। इसे घातांक भी कहते हैं; अंग्रेज़ी में UK में index (बहुवचन indices) और US में आम तौर पर exponent। तीनों का मतलब एक ही है।

4² = 4 × 4 = 16 ("चार का वर्ग", देखिए वर्ग संख्याएँ)
4³ = 4 × 4 × 4 = 64 ("चार का घन")
4⁴ = 256 ("चार की घात चार")

रॉकेट
ग्रह

10 की घातें वैज्ञानिकों के विशाल दूरियाँ लिखने का तरीका हैं, जैसे पृथ्वी से सूर्य की 150 000 000 किमी (1.5 × 10⁸ किमी) की दूरी।

घातें हैरान करने वाली तेज़ी से बढ़ती हैं। कागज़ को आधा मोड़िए तो वह 2 परत मोटा हो जाता है। फिर मोड़िए: 4। 10 बार मोड़ने के बाद वह 2¹⁰ = 1,024 परत होगा। यह दोगुना होना ही कारण है कि कंप्यूटर 2 की घातों में गिनते हैं (1 किलोबाइट परंपरागत रूप से 2¹⁰ बाइट था)।

10 की घातें स्थानीय मान से जुड़ी हैं: 10² = 100, 10³ = 1,000, 10⁶ = 1,000,000 (दस लाख)।

घातांक के नियम (एक ही आधार के लिए):

नियम	उदाहरण
गुणा: घातें जोड़ो	2³ × 2⁴ = 2⁷
भाग: घातें घटाओ	5⁶ ÷ 5² = 5⁴
घात की घात: गुणा करो	(3²)³ = 3⁶
घात शून्य	9⁰ = 1
ऋणात्मक घात: एक बटा	2⁻³ = 1/2³ = 1/8

9⁰ = 1 क्यों है? पैटर्न देखिए: 9³ = 729, 9² = 81, 9¹ = 9। हर कदम पर 9 से भाग लगता है। एक कदम और चलें तो 9 ÷ 9 = 1।

घातें संक्रियाओं के क्रम में जल्दी आती हैं: 2 + 3² में पहले घात निकालिए, यानी 2 + 9 = 11।

उदाहरण

6² = 36
2³ = 8
1⁵⁰ = 1
(−2)³ = −8
3 × 10⁵ = 300,000
x² × x³ = x⁵

आम गलतियाँ

आधार को घात से गुणा कर देना। 3⁴ का मान 81 है, 12 नहीं।
अलग आधार वाली घातों को जोड़ना। 2³ × 5² को एक घात में नहीं मिलाया जा सकता।
ऋणात्मक संख्याओं में कोष्ठक भूलना। −3² का मतलब −(3²) = −9, पर (−3)² = 9। कोष्ठक मायने रखते हैं।

छोटा क्विज़