गणित
वर्ग संख्याएँ क्या होती हैं?
छोटा जवाब
वर्ग संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलती है, जैसे 4 × 4 = 16। पहली वर्ग संख्याएँ हैं 1, 4, 9, 16, 25 और 36।
एक वाक्य में
वर्ग संख्या वह संख्या है जो खुद से गुणा की गई हो, और उतने बिंदुओं को हमेशा एक पूरे वर्ग में सजाया जा सकता है।
समझिए
टाइलों को वर्ग के आकार में सजाइए: 3 पंक्तियाँ 3-3 की लें तो 9 टाइलें लगती हैं। 4 पंक्तियाँ 4-4 की लें तो 16। ये कुल, 9 और 16, वर्ग संख्याएँ हैं। 10 टाइलें आज़माइए तो आप बिना खाली जगह या बची टाइलों के वर्ग नहीं बना सकते, इसलिए 10 वर्ग संख्या नहीं है।
खिड़की
हम वर्ग को छोटे ऊपर लिखे 2 से लिखते हैं: 5² का मतलब 5 × 5 = 25। इसे "पाँच का वर्ग" पढ़िए। उस छोटे 2 को घात (power) या घातांक (index) कहते हैं (देखिए घात और घातांक)।
12² तक की वर्ग संख्याएँ हैं:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
ये आपकी पहाड़ों की तालिका में छिपी हैं, ऊपर बाएँ कोने से तिरछी चलती हुई।
इनके बीच के अंतरों में एक सुंदर पैटर्न है: 1, 4, 9, 16, 25 में अंतर 3, 5, 7, 9 हैं, यानी क्रम से विषम संख्याएँ। हर बार वर्ग में एक पंक्ति और एक स्तंभ बढ़ाने पर आप अगली विषम संख्या जितनी टाइलें जोड़ते हैं।
वर्ग सीधे क्षेत्रफल से जुड़ते हैं: 6 मी भुजा वाले वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 6² = 36 मी² है। उलटी दिशा में, 36 से 6 तक जाना वर्गमूल निकालना है।
वर्ग संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है। 36 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं, यानी नौ गुणनखंड, क्योंकि 6 अपने ही साथ जोड़ी बनाता है।
उदाहरण
- 1² = 1 (1 एक वर्ग संख्या है)
- 9² = 81
- 15² = 225
- 20² = 400 (2² = 4, फिर दो शून्य लगाइए)
- 0.5² = 0.25
- (−3)² = 9, क्योंकि ऋणात्मक गुणा ऋणात्मक धनात्मक होता है
आम गलतियाँ
- वर्ग की जगह दोगुना करना। 6² का मान 36 है, 12 नहीं।
- यह सोचना कि 1 नहीं गिना जाता। 1 × 1 = 1, इसलिए 1 पहली वर्ग संख्या है।
- संख्या के सिर्फ़ एक हिस्से का वर्ग करना। 30² का मान 900 है, 90 नहीं। हल: 30 × 30 = 3 × 3 × 10 × 10।
छोटा क्विज़
वर्ग संख्याएँ (Square numbers)
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जुड़े हुए विषय
वर्गमूल (Square roots)
किसी संख्या का वर्गमूल वह मान है जिसे खुद से गुणा करने पर वही संख्या मिले। 25 का वर्गमूल 5 है, क्योंकि 5 × 5 = 25। इसका चिह्न √ है।
घात और घातांक (Powers and indices)
घात (power), जिसे घातांक (index या exponent) भी कहते हैं, ऊपर लिखी छोटी संख्या है जो बताती है कि संख्या को कितनी बार खुद से गुणा करना है। इसलिए 2⁴ का मतलब 2 × 2 × 2 × 2 = 16।
पहाड़े (Times tables)
पहाड़े किसी संख्या के गुणा के तथ्यों की सूची हैं, जैसे 3 × 1 = 3 से 3 × 12 = 36 तक। इन्हें कंठस्थ करने से बाद का लगभग सारा गणित तेज़ हो जाता है।
क्षेत्रफल (Area)
क्षेत्रफल किसी आकृति के भीतर की समतल जगह की मात्रा है, जो वर्ग इकाइयों जैसे cm² या m² में मापी जाती है। 4 cm × 3 cm के आयत का क्षेत्रफल 4 × 3 = 12 cm² है।
अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers)
अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या है जिसके ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं। पहली अभाज्य संख्याएँ हैं 2, 3, 5, 7, 11 और 13।
अनुक्रम (Sequences)
अनुक्रम संख्याओं या आकृतियों की वह सूची है जो किसी नियम का पालन करती है, जैसे 3, 7, 11, 15 (हर बार 4 जोड़ना)। हर पद को term कहते हैं।