अभाज्य संख्या (prime number) क्या होती है?

12 ब्लॉक लीजिए और उन्हें आयत में सजाने की कोशिश कीजिए। आप 12 की 1 पंक्ति, 6-6 की 2 पंक्तियाँ या 4-4 की 3 पंक्तियाँ बना सकते हैं। बहुत सारे विकल्प। अब 7 ब्लॉक आज़माइए। एकमात्र आयत 7 की 1 पंक्ति है। 7 जैसी संख्याएँ, जो सिर्फ़ एक सीधी पंक्ति बना सकती हैं, अभाज्य (prime) हैं।

गणित की भाषा में, अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह स्वयं। 1 से बड़ी जो पूर्ण संख्या अभाज्य नहीं है, जैसे 12, उसे भाज्य (composite) संख्या कहते हैं।

दो संख्याएँ बहस कराती हैं:

• 1 अभाज्य नहीं है। उसका सिर्फ़ एक गुणनखंड है, इसलिए वह नियम पूरा नहीं करती।
• 2 अभाज्य है, और यह एकमात्र सम अभाज्य है। बाकी हर सम संख्या 2 से बँटती है।

50 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47। यानी कुल 15।

कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, यह जाँचने के लिए उसे अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5, 7… से बारी-बारी भाग देकर देखिए। जिस अभाज्य संख्या को आप आज़मा रहे हैं, उसका खुद से गुणा आपकी संख्या से बड़ा हो जाए तो रुक सकते हैं। 91 के लिए: 2 नहीं, 3 नहीं, 5 नहीं, 7 हाँ (7 × 13)। इसलिए 91 अभाज्य नहीं है, भले ही वैसी दिखती हो।

अभाज्य संख्याएँ सभी पूर्ण संख्याओं की निर्माण-ईंटें हैं। हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में सिर्फ़ एक ही तरीके से तोड़ा जा सकता है (क्रम को छोड़कर)। 84 के लिए: 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7। गुणनखंड वृक्ष (factor tree) इसे बनाने का सुंदर तरीका है।

2,000 साल से भी पहले यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ कभी ख़त्म नहीं होतीं। कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या नहीं है।