गणित
पहाड़े (times tables) क्या होते हैं और उन्हें कैसे याद करें?
छोटा जवाब
पहाड़े किसी संख्या के गुणा के तथ्यों की सूची हैं, जैसे 3 × 1 = 3 से 3 × 12 = 36 तक। इन्हें कंठस्थ करने से बाद का लगभग सारा गणित तेज़ हो जाता है।
एक वाक्य में
पहाड़ा उन उत्तरों की सूची है जो एक संख्या को 1, 2, 3 और आगे तक गुणा करने पर मिलते हैं, आम तौर पर 12 तक।
समझिए
5 का पहाड़ा 5, 10, 15, 20, 25… चलता है क्योंकि हर कदम पर एक और 5 जुड़ता है। पूरा लिखें तो यह 1 × 5 = 5, 2 × 5 = 10, और इसी तरह 12 × 5 = 60 तक है। अमेरिका में इन्हीं तथ्यों को अक्सर multiplication facts कहते हैं।
1 से 12 तक हर पहाड़ा सीखना 144 तथ्यों जैसा लगता है, पर असल में उससे कहीं कम है। क्योंकि 3 × 7 और 7 × 3 एक ही है (गुणा किसी भी क्रम में चलता है), हर तथ्य दो बार गिना जाता है। आसान 1, 2, 5 और 10 के पहाड़े हटा दें, तो सिर्फ़ कुछ दर्जन पेचीदा तथ्य बचते हैं।
घड़ी- घड़ी
- घड़ी
पैटर्न बहुत मदद करते हैं:
- 2 के पहाड़े में सम संख्याएँ हैं। 10 के पहाड़े के उत्तर 0 पर ख़त्म होते हैं। 5 के पहाड़े के उत्तर 0 या 5 पर।
- 4 के पहाड़े 2 के दोगुने हैं, और 8 के पहाड़े 4 के दोगुने।
- 9 के पहाड़े: दहाई का अंक 1 बढ़ता है जबकि इकाई का अंक 1 घटता है (09, 18, 27, 36…), और अंकों का योग 9 होता है।
- 11 के पहाड़े में 9 × 11 तक बस दोहराए अंक हैं: 33, 44, 55।
- 6 के पहाड़े 3 के दोगुने हैं।
पहाड़े भाग को भी तेज़ बनाते हैं: अगर 7 × 6 = 42, तो 42 ÷ 6 = 7।
उदाहरण
| तथ्य | निकालने का एक तरीका |
|---|---|
| 6 × 7 = 42 | 5 × 7 = 35, उसमें एक और 7 |
| 8 × 4 = 32 | दोगुना, दोगुना, दोगुना: 4, 8, 16, 32 |
| 9 × 6 = 54 | 10 × 6 = 60, उसमें से 6 घटाओ |
| 12 × 7 = 84 | 10 × 7 = 70, और 2 × 7 = 14 जोड़ो |
| 11 × 12 = 132 | 10 × 12 = 120, उसमें 12 जोड़ो |
आम गलतियाँ
- 7 × 8 तक पहुँचने के लिए हर बार शुरू से बोलना। हल: तथ्यों का क्रम बदलकर अभ्यास कीजिए, ताकि हर एक अकेला याद आ सके।
- पड़ोसी तथ्यों में गड़बड़ करना, जैसे 6 × 8 = 48 और 7 × 8 = 56। हल: पेचीदा तथ्यों को किसी जाने हुए से जोड़िए ("7 × 8, 6 × 8 से एक 8 ज़्यादा है")।
- मतलब समझे बिना शब्द रट लेना। बीच-बीच में array या समूहों का इस्तेमाल कीजिए ताकि 4 × 6 का मतलब "चार छह" बना रहे।
छोटा क्विज़
पहाड़े (Times tables)
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जुड़े हुए विषय
गुणा (Multiplication)
गुणा बराबर समूहों को तेज़ी से जोड़ना है। 4 × 3 का मतलब 3 के 4 समूह (या 4 के 3 समूह) यानी 12। उत्तर को गुणनफल कहते हैं।
भाग (Division)
भाग का मतलब है बराबर समूहों में बाँटना, या यह पता करना कि कितने समूह बनते हैं। इसका चिह्न ÷ है, इसलिए 12 ÷ 3 = 4। उत्तर को भागफल कहते हैं।
गुणनखंड और गुणज (Factors and multiples)
गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो किसी संख्या में ठीक-ठीक जाती हैं (12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं)। गुणज उसके पहाड़े की संख्याएँ हैं (12, 24, 36…)।
वर्ग संख्याएँ (Square numbers)
वर्ग संख्या वह संख्या है जो किसी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलती है, जैसे 4 × 4 = 16। पहली वर्ग संख्याएँ हैं 1, 4, 9, 16, 25 और 36।
सम और विषम संख्याएँ (Odd and even numbers)
सम संख्याओं को दो बराबर समूहों या जोड़ियों में बाँटने पर कुछ नहीं बचता (2, 4, 6…)। विषम संख्याओं में हमेशा एक बच जाता है (1, 3, 5…)।
अनुक्रम (Sequences)
अनुक्रम संख्याओं या आकृतियों की वह सूची है जो किसी नियम का पालन करती है, जैसे 3, 7, 11, 15 (हर बार 4 जोड़ना)। हर पद को term कहते हैं।