गणित में अनुक्रम (sequence) क्या होता है?

2, 4, 6, 8, 10 देखिए। हर संख्या 2 से बढ़ती है, इसलिए अगली 12 होगी। यह एक अनुक्रम है। इसकी हर संख्या एक पद (term) है: 2 पहला पद है, 4 दूसरा, और इसी तरह आगे।

अनुक्रम हल करने के लिए वह नियम ढूँढ़िए जो एक पद से अगले पद तक ले जाता है। इसे पद-से-पद नियम (term-to-term rule) कहते हैं। आम प्रकार:

• हर बार उतनी ही मात्रा से बढ़ना या घटना (समांतर श्रेढ़ी या रैखिक अनुक्रम): 7, 12, 17, 22 (5 जोड़ना); 30, 26, 22, 18 (4 घटाना)। इस मात्रा को सार्व अंतर (common difference) कहते हैं। भारत की बड़ी कक्षाओं में इसे AP (Arithmetic Progression) कहते हैं।
• हर बार उसी संख्या से गुणा या भाग करना (गुणोत्तर श्रेढ़ी या geometric अनुक्रम): 3, 6, 12, 24 (दोगुना); 1000, 100, 10, 1 (10 से भाग)।
• खास अनुक्रम: वर्ग संख्याएँ (1, 4, 9, 16…), त्रिकोणीय संख्याएँ (1, 3, 6, 10…, पहले 2, फिर 3, फिर 4 जोड़ना) और फ़िबोनाची अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8…, जहाँ हर पद पिछले दो पदों का योग है)। फ़िबोनाची संख्याएँ प्रकृति में दिखती हैं, जैसे कई चीड़ के फलों और सूरजमुखी के फूलों में सर्पिलों की संख्या।

nवाँ पद। बड़ी कक्षाओं में आप ऐसा नियम ढूँढ़ते हैं जो सारे पद लिखे बिना सीधे किसी भी पद पर पहुँचा दे। यह स्थिति-से-पद नियम (position-to-term rule) है, जिसे स्थिति के लिए n से लिखते हैं। 5, 8, 11, 14… के लिए अंतर 3 है, इसलिए नियम 3n से शुरू होता है। 3n का पहला पद 3 होगा, पर असली पहला पद 5 है, जो 2 ज़्यादा है। इसलिए nवाँ पद 3n + 2 है। जाँच: जब n = 4, तो 3 × 4 + 2 = 14। ✓ अब 100वाँ पद आसान है: 3 × 100 + 2 = 302। यहीं अनुक्रम बीजगणित से मिलते हैं।