गणित
3D आकृतियाँ क्या होती हैं?
छोटा जवाब
3D आकृतियाँ ठोस आकृतियाँ होती हैं जिनमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती है, जैसे घन, गोला, बेलन और पिरामिड। इनमें फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं।
एक वाक्य में
3D आकृति एक ठोस वस्तु है जो जगह घेरती है और जिसमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती है।
समझिए
"3D" का मतलब है त्रिआयामी (तीन माप वाली)। कागज़ की शीट लगभग 2D होती है, पर डिब्बे में गहराई भी होती है, इसलिए उसे हाथ में पकड़ा, एक के ऊपर एक रखा और भरा जा सकता है। 3D आकृतियों को बताने के लिए तीन शब्द काम आते हैं:
- फलक (face): समतल (या मुड़ी हुई) सतहें।
- किनारे (edge, कोर): वे रेखाएँ जहाँ दो फलक मिलते हैं।
- शीर्ष (vertex): कोने, जहाँ किनारे मिलते हैं।
डिब्बा
गेंद
तंबू
| आकृति | फलक | किनारे | शीर्ष | असल ज़िंदगी का उदाहरण |
|---|---|---|---|---|
| घन | 6 | 12 | 8 | पासा |
| घनाभ | 6 | 12 | 8 | अनाज का डिब्बा |
| वर्गाकार आधार वाला पिरामिड | 5 | 8 | 5 | गीज़ा के पिरामिड |
| त्रिभुजाकार प्रिज़्म | 5 | 9 | 6 | ढलवाँ छत वाला तंबू, पनीर का टुकड़ा |
| बेलन | 3 (2 चपटे, 1 मुड़ा हुआ) | 2 | 0 | टिन का डिब्बा |
| शंकु | 2 (1 चपटा, 1 मुड़ा हुआ) | 1 | 1 | आइसक्रीम कोन |
| गोला | 1 मुड़ा हुआ | 0 | 0 | गेंद |
3D आकृति के फलक 2D आकृतियाँ होते हैं। घन के फलक वर्ग होते हैं; त्रिभुजाकार प्रिज़्म में दो त्रिभुज और तीन आयत होते हैं।
प्रिज़्म (prism) हर जगह एक जैसी कटान वाला होता है: उसे सिरे के समानांतर कहीं भी काटिए, वही आकृति दिखेगी। पिरामिड में एक आधार होता है और त्रिभुजाकार फलक एक बिंदु पर मिलते हैं।
सपाट फलकों वाली और बिना छेद की आकृतियों के लिए एक मज़ेदार तथ्य है। फलक और शीर्ष जोड़िए, फिर किनारे घटा दीजिए, तो हमेशा 2 आता है। घन के लिए: 6 + 8 − 12 = 2। इसे यूलर का सूत्र कहते हैं, जो स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर के नाम पर है।
अगर आप गत्ते के डिब्बे को खोलकर सपाट कर दें, तो आपको उसका जाल (net) मिलता है: वह 2D नमूना जो मोड़ने पर 3D आकृति बन जाता है। घन के 11 अलग-अलग जाल होते हैं।
उदाहरण
- पासा घन है: 6 फलक, 12 किनारे, 8 शीर्ष।
- ढलवाँ छत वाला तंबू त्रिभुजाकार प्रिज़्म है।
- फुटबॉल (लगभग) गोला है।
- ट्रैफ़िक कोन शंकु है।
- त्रिभुजाकार प्रिज़्म पर यूलर का सूत्र जाँचिए: 5 + 6 − 9 = 2।
आम गलतियाँ
- 3D आकृतियों को 2D नाम देना: गेंद गोला है, वृत्त नहीं; पासा घन है, वर्ग नहीं।
- पीछे छिपे किनारे और शीर्ष छोड़ देना। हल: असली वस्तु हाथ में लीजिए, या किनारों को समूहों में गिनिए (ऊपर के, नीचे के, बगल के)।
- घन और घनाभ को मिला देना। घन के सभी किनारे बराबर लंबाई के होते हैं।
छोटा क्विज़
3D आकृतियाँ (त्रिआयामी आकृतियाँ)
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आयतन (Volume)
आयतन किसी 3D वस्तु द्वारा घेरी गई जगह है, जिसे cm³ या m³ जैसी घन इकाइयों में मापते हैं। 4 सेमी × 3 सेमी × 2 सेमी के डिब्बे का आयतन 24 cm³ है।
कोण (Angles)
कोण उन दो रेखाओं के बीच के मोड़ की मात्रा है जो एक बिंदु पर मिलती हैं। कोण अंशों (°) में मापे जाते हैं; समकोण 90° का और पूरा चक्कर 360° का होता है।
क्षेत्रफल (Area)
क्षेत्रफल किसी आकृति के भीतर की समतल जगह की मात्रा है, जो वर्ग इकाइयों जैसे cm² या m² में मापी जाती है। 4 cm × 3 cm के आयत का क्षेत्रफल 4 × 3 = 12 cm² है।
सममिति (Symmetry)
किसी आकृति में सममिति तब होती है जब उसका एक आधा हिस्सा दूसरे का दर्पण-प्रतिबिंब हो (रेखा सममिति), या घुमाने के बाद वह वैसी ही दिखे (घूर्णन सममिति)।
जोड़ (Addition)
जोड़ का मतलब है मात्राओं को मिलाकर कुल निकालना। इसका चिह्न + है और उत्तर को योगफल कहते हैं, जैसे 4 + 3 = 7।