Optimiser, c’est trouver la plus grande ou la plus petite valeur de quelque chose, comme une aire ou un coût. Écris la quantité comme une fonction d’une seule variable, dérive, pose la dérivée égale à zéro et résous.
Un enclos contre un mur utilise 40 m de clôture sur trois côtés. Avec une largeur x, la longueur est 40 − 2x et l’aire est A = x(40 − 2x) = 40x − 2x². dA/dx = 40 − 4x = 0 donne x = 10, et d²A/dx² = −4 < 0 confirme un maximum. La plus grande aire est 10 × 20 = 200 m².
Exemple corrigé
Trouve le point maximum de y = 2x³ − 18x² + 48x − 2.
- dy/dx = 6x² − 36x + 48 = 6(x − 2)(x − 4) = 0.
- d²y/dx² = 12x − 36 : en x = 2 elle vaut −12, un maximum ; y = 16 − 72 + 96 − 2 = 38.
Réponse:(2, 38)
Mots clés
- optimiser
- trouver la meilleure valeur (la plus grande ou la plus petite)
- contrainte
- une condition qui relie les variables
- fonction objectif
- la quantité qu’on rend maximale ou minimale
S'entraîner
De nouvelles questions à chaque fois.