Optimierung heißt, den größten oder kleinsten Wert von etwas zu finden, etwa einer Fläche oder von Kosten. Schreibe die Größe als Funktion einer Variablen, leite ab, setze die Ableitung gleich null und löse.
Ein Gehege an einer Wand benutzt 40 m Zaun auf drei Seiten. Mit der Breite x ist die Länge 40 − 2x und die Fläche A = x(40 − 2x) = 40x − 2x². dA/dx = 40 − 4x = 0 ergibt x = 10, und d²A/dx² = −4 < 0 bestätigt ein Maximum. Die größte Fläche ist 10 × 20 = 200 m².
Beispiel mit Lösung
Finde den Hochpunkt von y = 2x³ − 18x² + 48x − 2.
- dy/dx = 6x² − 36x + 48 = 6(x − 2)(x − 4) = 0.
- d²y/dx² = 12x − 36: Bei x = 2 ist sie −12, ein Maximum; y = 16 − 72 + 96 − 2 = 38.
Antwort:(2, 38)
Schlüsselwörter
- optimieren
- den besten (größten oder kleinsten) Wert finden
- Nebenbedingung
- eine Bedingung, die die Variablen verbindet
- Zielfunktion
- die Größe, die maximiert oder minimiert wird
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