Für kleines x liefern die ersten Glieder von (1 + x)ⁿ eine gute Schätzung, weil die höheren Potenzen von x winzig sind. (1 + x)¹⁰ ≈ 1 + 10x + 45x².
Um 1.01¹⁰ zu schätzen, setze x = 0.01: 1 + 0.1 + 0.0045 = 1.1045, und das ist sehr nah am wahren Wert 1.10462. Für (2 − 3x)ⁿ benutze das allgemeine Glied ⁿCᵣ 2ⁿ⁻ʳ(−3x)ʳ, um die ersten Glieder in aufsteigenden Potenzen von x zu finden.
Beispiel mit Lösung
Benutze die ersten drei Glieder von (1 − x)⁷ mit x = 0.01, um 0.99⁷ zu schätzen.
- (1 − x)⁷ ≈ 1 − 7x + 21x².
- 1 − 0.07 + 0.0021.
Antwort:0.9321
Schlüsselwörter
- aufsteigende Potenzen
- x⁰, x¹, x², … der Reihe nach
- Näherung
- eine genaue Schätzung
- kleines x
- macht höhere Glieder vernachlässigbar
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Mit Bezug auf Common Core: HSA-APR.C.5