बच्चों को 1 से 20 तक की गिनती कैसे सिखाएँ: 3–6 साल में संख्याओं की असली समझ

जो तीन साल का बच्चा "एक, दो, तीन... बीस!" बोल देता है, वह प्रभावित करता है। उसी बच्चे से पाँच अंगूर माँगिए, तो हो सकता है मुट्ठी भर अंगूर और ख़ुशी भरा "पाँच!" मिले। दोनों बिल्कुल सामान्य हैं। संख्याएँ बोलना और उन्हें समझना अलग कौशल हैं, और यह फ़र्क़ जानने से सिखाने का तरीक़ा बदल जाता है। यह गाइड बताती है कि 1 से 20 तक संख्याओं की असली समझ कैसी दिखती है, बच्चे किन पड़ावों से गुज़रते हैं, और कौन-से खेल रोज़ कुछ मिनटों में यह समझ बनाते हैं।

गिनती बोलना और गिनना एक बात नहीं#

संख्याओं के नाम क्रम से बोलना गणित करने से ज़्यादा गाना गाने जैसा है। यह काम का है, क्योंकि बच्चों को शब्द चाहिए, पर यह उन कई विचारों में से बस एक है जिन्हें एक साथ आना होता है, तब जाकर गिनती का कोई मतलब बनता है।

छोटे बच्चों के गणित पर शोध करने वाले अक्सर गिनती के कुछ सिद्धांत बताते हैं। आसान भाषा में:

1. तय क्रम। संख्याओं के नाम हमेशा एक ही क्रम में आते हैं: एक, दो, तीन, कभी एक, तीन, दो नहीं।
2. एक चीज़, एक संख्या। हर चीज़ को ठीक एक संख्या मिलती है। कोई छूटे नहीं, कोई teddy दो बार न गिना जाए।
3. आख़िरी संख्या ही जवाब है। जब आप "एक, दो, तीन, चार" गिनते हैं, तो आख़िरी शब्द बताता है कि कुल कितनी हैं। इसे cardinality कहते हैं, और यही सबसे बड़ी बात है।
4. कुछ भी गिना जा सकता है। खिलौने, तालियाँ, छलाँगें, आवाज़ें, यहाँ तक कि विचार भी।
5. क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता। गाड़ियों को बाएँ से दाएँ गिनें या दाएँ से बाएँ, वे पाँच ही रहेंगी।

Cardinality की एक झटपट जाँच यह है। साथ में चार blocks गिनें, फिर पूछें, "तो कितने blocks हैं?" जिस बच्चे को यह समझ आ गया है, वह तुरंत "चार" कहेगा। जिसे नहीं आया, वह अक्सर फिर से सब गिनने लगेगा। यह कोई ग़लती नहीं जिसे सुधारना है; यह काम की जानकारी है कि बच्चा अभी कहाँ है।

बिना गिने छोटी संख्याएँ देखना#

पासे पर तीन बिंदियाँ देखते हैं तो आप उन्हें गिनते नहीं। बस जान जाते हैं। इस तुरंत पहचान को subitising कहते हैं, और ज़्यादातर लोग लगभग चार चीज़ों तक यह भरोसे से कर लेते हैं। यह एक मज़बूत नींव है, क्योंकि इससे बच्चे संख्याओं को शब्दों की लड़ी की बजाय पूरी चीज़ की तरह देखने लगते हैं।

इसे बनाने के तरीक़े:

• पासे और डोमिनो। एक सेकंड के लिए पासे का कोई चेहरा दिखाएँ और पूछें "कितनी?" एक से तीन बिंदियों से शुरू करें।
• उँगलियों के पैटर्न। जल्दी से तीन उँगलियाँ दिखाकर छिपा लें। क्या बच्चा वही दिखा सकता है? फिर कहें "चार को किसी और तरह से दिखाओ" (दोनों हाथों पर दो-दो, या तीन और एक)।
• झटपट देखने वाले कार्ड। कार्डों पर अलग-अलग ढंग से बिंदियाँ बनाएँ। तीन बिंदियाँ एक लाइन में, तीन त्रिभुज में। संख्या वही, रूप अलग।
• आसपास ढूँढें। कार के चार पहिए, दो आँखें, स्टूल के तीन पाए।

जब छोटी संख्याएँ दिखने लगें, तो बड़ी संख्याएँ उन्हीं से बनाई जा सकती हैं। पाँच "तीन और दो" जैसा दिखता है; छह "तीन और तीन" जैसा। इसे conceptual subitising कहते हैं, और यही जोड़ तक पहुँचने का पुल है।

पाँच और दस: दो लंगर#

हमारी संख्या-प्रणाली दहाइयों पर बनी है, और हमारे हाथ पाँच-पाँच के हैं। इन दो लंगरों का इस्तेमाल 20 तक की संख्याएँ समझना कहीं आसान बना देता है।

पाँच का फ़्रेम (five frame)। पाँच ख़ानों की एक लाइन बनाएँ। बाईं ओर से गोटियाँ रखें। तीन गोटियाँ, दो ख़ाली ख़ाने। "पाँच बनाने के लिए कितनी और चाहिए?" बच्चे जल्दी ही बिना गिने देखने लगते हैं कि 3 और 2 मिलकर 5 बनते हैं।

दस का फ़्रेम (ten frame)। पाँच-पाँच ख़ानों की दो लाइनें। पहले ऊपर वाली लाइन भरें, फिर नीचे वाली। सात मतलब "पाँच की एक भरी लाइन और दो"। नौ मतलब "दस से एक कम"। ये तस्वीरें ऐसी मानसिक छवियाँ बन जाती हैं जो बच्चे सालों तक साथ रखते हैं।

उँगलियाँ। दस उँगलियाँ आपकी बाँहों के सिरे पर लगा ten frame हैं। बच्चे को हर उँगली गिने बिना संख्याएँ दिखाने को कहें: "पाँच दिखाओ" (पूरा हाथ), "सात दिखाओ" (पूरा हाथ और दो)। उँगलियाँ इस्तेमाल करना बेईमानी नहीं; इस उम्र में यह गणित का बिल्कुल ठीक औज़ार है।

Worksheets के बिना number bonds#

Number bond का मतलब बस दो ऐसी संख्याएँ हैं जो मिलकर कोई तीसरी बनाती हैं। 5 के लिए: 0 और 5, 1 और 4, 2 और 3। 10 के लिए: 1 और 9, 2 और 8, 3 और 7, 4 और 6, 5 और 5। इन्हें ज़ुबानी याद होना जोड़, घटाव और आगे चलकर mental maths को बहुत आसान बना देता है।

पाँच गोटियों और एक कप के साथ यह आज़माएँ:

"मेरे पास पाँच बटन हैं। मैं कुछ को कप के नीचे छिपा रही हूँ... देखो, दो बाहर रह गए। कितने छिपे हैं?"

बच्चा उँगलियों पर गिन सकता है, अंदाज़ा लगा सकता है, या कप उठा सकता है। सब ठीक है। अलग संख्या छिपाकर फिर से करें। कुछ हफ़्तों में जवाब तुरंत आने लगते हैं। फिर यही खेल दस के साथ खेलें।

जोड़ों के अभ्यास के और तरीक़े:

• हिलाओ और गिराओ। दो रंगों वाली पाँच गोटियाँ (या सिक्के, चित-पट) एक कप में डालें, हिलाएँ और गिरा दें। "तीन लाल और दो पीली। तीन और दो मिलकर पाँच।"
• बॉलिंग। दस प्लास्टिक की बोतलें। कुछ गिराओ: कितनी खड़ी हैं? कितनी गिरीं? दोनों मिलकर हमेशा दस होती हैं।
• नाश्ते की प्लेटें। "इस तरफ़ तुम्हारे पास छह किशमिश हैं। दस बनाने के लिए उस तरफ़ कितनी रखनी चाहिए?"

उदाहरण के लिए इंग्लैंड में early learning goals के तहत Reception के अंत तक बच्चों से 5 तक के जोड़े बिना गिने याद होने, साथ में 10 तक के कुछ जोड़ों की उम्मीद की जाती है, और Year 1 का पाठ्यक्रम 20 के भीतर के जोड़ों तक जाता है। भारत में LKG, UKG और Class 1 के पाठ्यक्रम स्कूल और बोर्ड के हिसाब से अलग होते हैं, पर यह विचार लगभग हर शुरुआती गणित पाठ्यक्रम में आता है।

11 से 19: दिखने से ज़्यादा मुश्किल#

बच्चे अक्सर दस तक आराम से पहुँच जाते हैं और फिर डगमगाने लगते हैं। इसकी वजह संख्याओं का बड़ा होना नहीं है। वजह यह है कि उनके नाम मदद नहीं करते।

हिंदी में यह मुश्किल और भी बड़ी है: ग्यारह, बारह, तेरह, चौदह, पंद्रह, सोलह, सत्रह, अठारह, उन्नीस, हर नाम अलग से याद करना पड़ता है, और कहीं से साफ़ नहीं होता कि चौदह का मतलब "दस और चार" है। "उन्नीस" असल में "बीस से एक कम" से बना है, पर यह बात किसी बच्चे को सुनकर पता नहीं चलती।

अंग्रेज़ी में भी उलझनें हैं:

• Eleven और twelve से कोई इशारा नहीं मिलता कि इनका मतलब "दस और एक" और "दस और दो" है।
• Thirteen, fourteen वग़ैरह में इकाई पहले बोली जाती है और दहाई बाद में, पर लिखते हम दहाई पहले हैं: 14 बोला जाता है "four-teen" पर लिखा जाता है 1 फिर 4। कोई हैरानी नहीं कि कुछ बच्चे 41 लिख देते हैं।
• Thirteen और thirty बहुत मिलते-जुलते सुनाई देते हैं, ख़ासकर छोटे कानों को।

कुछ भाषाएँ इसे आसान बनाती हैं। चीनी, जापानी और कोरियाई में 14 को "दस-चार" बोला जाता है। आप यह विचार उधार ले सकते हैं:

"चौदह मतलब दस और चार। चलो बनाते हैं: एक भरा हुआ ten frame, और चार और।"

हर 11 से 19 वाली संख्या को एक भरे ten frame (या रबर बैंड से बँधे दस तिनकों के गट्ठर) और कुछ खुली गोटियों से बनाएँ। दोनों नाम बोलें: "दस और छह, सोलह"। जल्दी ही बच्चा देखने लगेगा कि 11 से 19 तक की हर संख्या "दस और कुछ" है, और 20 "दो दहाइयाँ"।

1 से 20 तक की संख्याओं के खेल#

छोटा, शारीरिक और बार-बार: यही नुस्ख़ा है। रोज़ एक-दो खेल चुनें।

1. सीढ़ियों की गिनती। ऊपर जाते समय सीढ़ियाँ गिनें, फिर ऊपर से नीचे उल्टी गिनती करें। उल्टी गिनती अलग कौशल है, और सीढ़ियाँ इसे स्वाभाविक बना देती हैं।
2. संख्या-रेखा पर छलाँग। ज़मीन पर चॉक से 0 से 20 तक संख्याओं की लाइन बनाएँ। "8 पर खड़े हो। 2 छलाँग आगे। अब कहाँ हो?"
3. रहस्य वाला थैला। एक थैले में 10 तक छोटी चीज़ें डालें। बच्चा टटोलकर अंदाज़ा लगाए कि कितनी हैं, फिर गिनकर जाँचे।
4. ज़्यादा या कम। पास्ता या राजमा की दो मुट्ठियाँ। किसमें ज़्यादा है? पहले अंदाज़ा, फिर गिनती। अंदाज़ा लगाने से मात्रा का एहसास बनता है।
5. संख्याओं की खोज। दरवाज़ों, बसों, दामों और घड़ियों पर संख्याएँ ढूँढें। पूछें "इसके बाद क्या आता है?"
6. दुकान-दुकान। खिलौनों के दाम ₹1 से ₹10 रखें और असली सिक्कों से भुगतान करें।
7. 20 तक की दौड़। पासा फेंकें, उतनी गोटियाँ twenty frame (दो ten frames) में रखें। जो पहले दोनों भर दे, वह जीता।

गिनती से खेलने वाली कोई चित्र-पुस्तक सोते समय के लिए प्यारा अतिरिक्त है। Where Is Number Five? आज़माएँ और हर पन्ने पर बत्तखें गिनने के लिए रुकें।

अंक लिखना सबसे आख़िर में#

अंक लिखना लिखावट का कौशल है, गणित का नहीं, और यह समझ से काफ़ी पीछे चल सकता है। जो बच्चा अभी 8 नहीं लिख पाता, उसे बिल्कुल ठीक पता हो सकता है कि आठ का मतलब क्या है।

जब अभ्यास कराएँ:

• दिखाएँ कि कहाँ से शुरू करना है। शुरुआत की जगह पर हरा बिंदु बनावट की ज़्यादातर दिक्कतें ठीक कर देता है।
• तुकबंदियाँ इस्तेमाल करें। अंग्रेज़ी में एक जानी-मानी लाइन है: "Across the sky and down from heaven, that's the way to make a seven." बहुत-से परिवारों की अपनी तुकबंदियाँ होती हैं; आप भी हिंदी में अपनी बना सकते हैं।
• उल्टे अंकों की उम्मीद रखें। उल्टे 2, 3, 5, 7 और 9 लगभग सात साल तक बहुत आम हैं। शांति से सही आकृति बनाकर दिखाएँ और आगे बढ़ें।

हमारे number tracing पेज शुरुआती बिंदुओं और तीरों के साथ गाइड वाला अभ्यास देते हैं।

आम ग़लतियाँ (हमारी, उनकी नहीं)#

• बहुत जल्दी बहुत ऊपर जाना। पहले 5 तक समझ पक्की करें, फिर 10 तक, फिर 20 तक। चार साल में 100 तक गिनती बोलने का कोई इनाम नहीं है।
• सिर्फ़ worksheets। कागज़ बाद में काम आता है। असली चीज़ें हमेशा पहले।
• हर गिनती सुधारना। अगर बच्चा छह blocks को सात गिनता है, तो "नहीं, ग़लत" की बजाय कहें "चलो साथ में गिनते हैं"।
• शून्य को भूल जाना। "कितने बिस्किट बचे?" "एक भी नहीं!" गणित की बढ़िया बातचीत है। शून्य भी एक संख्या है।

संख्याओं को रोज़ के दिनों में घोलने के और तरीक़ों के लिए घर पर रोज़मर्रा का गणित वाले हमारे आइडिया देखें, और जब बच्चा बड़ी संख्याओं की तुलना की ओर बढ़ने को तैयार हो, तो हमारी संख्याओं की तुलना वाली worksheets आज़माएँ।

आज रात पाँच बटन और एक कप उठाइए और छिपाने वाला खेल तीन बार खेलिए। इसमें दो मिनट लगते हैं, और यह पाँच का असली मतलब किसी भी मात्रा में रटी गई गिनती से ज़्यादा सिखाता है।